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1、考研数学一试题分析,详解和评注一,挑选题: (此题共8 小题,每道题4 分,共 32 分. 每道题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)x 2(1) 设函数f (x)0ln(2t)dt ,就 f(x) 的零点个数为【】(A) 0.【答案 】应选 (B).(B) 1.(C) 2.(D) 3【详解 】 f (x)ln(2x2 ) 2 x2x ln(2x2 ) 明显 f ( x) 在区间 (,) 上连续, 且 f ( 1) . f (1)( 2ln3) . (2ln3)0 ,由零点定理,知f ( x) 至少有一个零点又 f( x)2ln(2x )24 x22x20
2、 ,恒大于零, 所以f (x) 在 (,) 上为单调递增的又由于f (0)0 ,依据其单调性可知,f ( x) 至多有一个零点故 f ( x) 有且只有一个零点故应选(B).( 2) 函数f (x, y)arctan x 在点 (0,1)处的梯度等于【y】(A)i(B)i .(C)j .(D)j.【答案 】应选 (A).【 详解 】由于f1yyfxy2x22221xxyyxx2xy2y212y所以fx1,f0 ,于为 grad f ( x, y)(0,1)i .故应选 (A).(0,1)y(0,1)|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1( 3)在以下微分方程中,以yC exC
3、2 cos 2 xC3 sin 2 x ( C1, C2 , C3 为任意的常数)为通解的为【】(A)yy4 y4 y0 .(B)yy4 y4 y0 .(C)yy4 y4 y0 .(D)yy4 y4 y0 .【答案 】应选 (D).【详解 】由yC exC2 cos 2 xC3 sin 2 x ,可知其特点根为111 ,2,32 i ,故对应的特点值方程为(1)(2i )(2i )(1)(24)34243244所以所求微分方程为yy4 y4 y0 应选 (D).(4) 设函数f (x)在 (,) 内单调有界, xn为数列,以下命题正确选项【】(A) 如 xn 收敛,就 f ( xn)收敛(B)
4、 如 xn 单调,就 f ( xn ) 收敛|精.|品.(C) 如f ( xn )收敛,就 xn收敛 .(D) 如f (xn)单调,就 xn收敛 .|可.|编.|辑.|学.【答案 】应选 (B).|习.|资.|料.【详解】如 xn 单调,就由函数f (x)在 (,) 内单调有界知,如f (xn )单调有界,因此如 f ( xn )收敛故应选(B).(5) 设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵如就以下结论正确选项:A30 ,就【】(A) EA 不行逆,就EA不行逆 .(B)EA 不行逆,就EA 可逆 .(C) EA 可逆,就EA 可逆.(D)EA 可逆,就EA 不行逆 .【答案 】
5、应选 (C).【详解 】故应选 (C).(EA)( EAA2 )EA3E , (EA)( EAA2)EA3E 故 EA , EA均可逆故应选(C).(6) 设 A 为 3 阶实对称矩阵,假如二次曲面方程x xyz Ayz1 在正交变换下的标准方程的图形如图,就A 的正特点值个数为【】(A)0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案 】应选 (B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为特点值个数为1故应选 (B).x2y2a 2z2c21 故 A的正(7) 设随机变量X ,Y 独立同分布且X 的分布函数为F ( x) ,就 ZmaxX , Y 的分布函数为【】(A)F 2(
6、 x) .(B)F ( x) F ( y) . (C)11F ( x) 2 . (D) 1F ( x)1F ( y ) .【答案】应选(A)【详解】F ( z)P ZzPmax X ,YzPXz P YzF( z)F ( z)F 2( z)故应选 (A)(8) 设随机变量X: N (0,1) , Y :N (1,4), 且相关系数XY1 ,就【】|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.(A)(C)PYPY2 X112 X11(B)(D)PYPY2X112 X11【答案】应选(D)【详解】用排除法设YaXb 由XY1 ,知 X , Y 正相关,得a0. 排除( A)和( C)由 X
7、 :N (0,1), Y :N (1,4) ,得EX0, EY1, E(aXb)aEXb 1a0b , b1. 从而排除 (B).故应选(D)二,填空题:(9 14 小题,每道题4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.)(9) 微分方程xyy0 满意条件y(1)1 的解为y.【答案 】应填 y1 x【详解 】由 dyy ,得 dydx两边积分,得ln | y |ln | x |C dxxyx代入条件y(1)1 ,得 C0 所以y1x(10) 曲线 sin( xy)ln( yx)x 在点 (0,1) 的切线方程为.【答案 】应填 yx1【详解 】设 F ( x, y)sin( xy)ln(
8、 yx)x ,就F ( x, y)xy cos(xy)y1x1 , F ( x, y)1xxcos( xy)yx,F (0,1)x1, F (0,1)y1于为斜率kFx (0,1)1Fy (0,1)故所求得切线方程为yx1( 11 ) 已 知 幂 级 数a (xn2) n在 x0 处收 敛 , 在 x4 处 发 散, 就 幂 级 数n 0a ( xn2) n 的收敛域为.n 0【答案 】(1,5 【详解】由题意,知a (xn2) n 的收敛域为(4,0 ,就a xnn的收敛域为( 2,2 所n 0n 0以a ( xn2) n 的收敛域为(1,5 n 0(12)设曲面为z4x2y2的上侧,就xy
9、dydzxdzdxx2dxdy.|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【答案 】4【详解 】作帮助面1 : z0 取下侧就由高斯公式,有xydydzxdzdxx2dxdyxydydzxdzdxx2dxdyxydydzxdzdxx2dxdy12 ydVx dxdy x 2y2 401( x2y2 )dxdy12d2 r 2 . rdrg1642 x 2y2 42004(13) 设 A 为 2 阶矩阵,1 ,2 为线性无关的2 维列向量,A 10 , A22 12 就 A的非零特点值为 .【答案 】应填 102【详解 】依据题设条件,得A( 1 ,2 )( A1, A2 )(0,2
10、12 )(1,2 ) 01记 P(1 ,2 ) ,因1,2 线性无关,故P(1 ,2 ) 为可逆矩阵因此0210202|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.APP01相同的特点值,从而PAP201记 B,就 A 与 B 相像,从而有01|资.|料.由于 |EB |(1) ,0 ,1故 A 的非零特点值为1012(14) 设随机变量X 听从参数为1 的泊松分布,就PXEX 1【答案 】应填.2e【详解 】由于 X 听从参数为1 的泊松分布, 所以EXDX1 从而由DXEX 2( EX )2得 EX 22. 故P XEX 2P X21 2e三,解答题:(15 23 小题,共94 分. )(15)( 此题满分10 分)求极限limsin xsin(sin4