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1、20092010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第36讲 空间向量及其应用一【课标要求】(1)空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。(2)空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量; 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量
2、方法在研究几何问题中的作用二【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度三【要点精讲】1空间向量的概念向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法
3、:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明:由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率 加法交换率:加法结合率:数乘分配率:说明:引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平
4、行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。共线向量定理:对空间任意两个向量()、,的充要条件是存在实数使注:上述定理包含两个方面:性质定理:若(0),则有,其中是唯一确定的实数。判断定理:若存在唯一实数,使(0),则有(若用此结论判断、所在直线平行,还需(或)上有一点不在(或)上)。对于确定的和,表示空间与平行或共线,长度为 |,当0时与同向,当0时与反向的所有向量若直线l,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量在l上取,
5、则式可化为 当时,点P是线段AB的中点,则 或叫做空间直线的向量参数表示式,是线段AB的中点公式。注意:表示式()、()既是表示式,的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;推论的用途:解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行:如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内,我们就说向量平行于平面,记作。注意:向量与直线a的了解与区别。共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量、不共线,则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序
6、实数对x、y,使或对空间任一定点O,有在平面MAB内,点P对应的实数对(x, y)是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式又代入,整理得 由于对于空间任意一点P,只要满足等式、之一(它们只是形式不同的同一等式),点P就在平面MAB内;对于平面MAB内的任意一点P,都满足等式、,所以等式、都是由不共线的两个向量、(或不共线三点M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是M、A、B、P四点共面的充要条件5空间向量基本定理:如果三个向量、不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明:由上述定理知,如果三个向量、不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是,这个集合可看作由
7、向量、生成的,所以我们把,叫做空间的一个基底,都叫做基向量;空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组,使6数量积(1)夹角:已知两个非零向量、,在空间任取一点O,作,则角AOB叫做向量与的夹角,记作ABO(1)OAB(2)ABO(3)说明:规定0,因而=;如果=,则称与互相垂直,记作;ABO(4)在表示两个向量的夹角时,要使有向线
8、段的起点重合,注意图(3)、(4)中的两个向量的夹角不同,图(3)中AOB=,图(4)中AOB=,从而有=.(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。(3)向量的数量积:叫做向量、的数量积,记作。ABl即=,向量:(4)性质与运算率。 =0 = 四【典例解析】题型1:空间向量的概念及性质例1有以下命题:如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点一定共面;已知向量是空间的一个基底,则向量,也是空间的一个基底。其中正确的命题是( ) 解析:对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系一定共线”
9、;所以错误。正确。点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与了解例2下列命题正确的是( )若与共线,与共线,则与共线;向量共面就是它们所在的直线共面;零向量没有确定的方向;若,则存在唯一的实数使得;解析:A中向量为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证不为零向量答案C。点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾题型2:空间向量的基本运算例3如图:在平行六面体中,为与的交点。若,则下列向量中与相等的向量是( ) 解析:显然;答案为
10、A。点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4已知:且不共面.若,求的值.解:,且即又不共面,点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。题型3:空间向量的坐标例5(1)已知两个非零向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是()A. :|=:|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k,使=k(2)已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若|=6,则x+y的值是
11、()A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1(3)下列各组向量共面的是()A. =(1,2,3),=(3,0,2),=(4,2,5)B. =(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)C. =(1,1,0),=(1,0,1),=(0,1,1)D. =(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,1)解析:(1)D;点拨:由共线向量定线易知;(2)A点拨:由题知或;(3)A点拨:由共面向量基本定理可得点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况例6已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4)。设=,=,(1)求和的夹角;(2)若向量k+与k2
12、互相垂直,求k的值.思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.解:A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),=,=,=(1,1,0),=(1,0,2).(1)cos=,和的夹角为。(2)k+=k(1,1,0)+(1,0,2)(k1,k,2),k2=(k+2,k,4),且(k+)(k2),(k1,k,2)(k+2,k,4)=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。则k=或k=2。点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。(+)(k2)=k22k22=2k2+k10=0,解得k=,或k=2。题型4:数量积例72009江西卷文)如图,在四
13、面体中,截面是正方形,则在下列命题中,错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为答案:C【解析】由,可得,故正确;由可得截面,故正确; 异面直线与所成的角等于与所成的角,故正确;综上是错误的,故选.点评:本题考查平面向量的数量积及运算律例8(1)设向量与的夹角为,则.解:设向量与的夹角为且,则=.(2)设空间两个不同的单位向量=(x1,y1,0),=(x2,y2,0)与向量=(1,1,1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求的大小(其中0。解析 (2)解:(1)|=|=1,x+y=1,x=y=1.又与的夹角为,=|cos=.又=x1+y1,x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1,2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos=x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=,x1y1=.x1,y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或,或cos=+=+=.0,=。评述:本题考查向量数量积的运算法则题型5:空间向量的应用例9(1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证:+4。(2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j