高考数学培优微专题讲义 解答题篇 数学培优微专题 等差等比的证明2 数学培优微专题 明确等差等比求通项5 数学培优微专题 给和式求通项7 数学培优微专题 裂项相消法求和10 数学培优微专题 错位相减法求和14 数学培优微专题 数列中多规律求和18 数学培优微专题 数列的和与不等式22 数学培优微专题 边角互化26 数学培优微专题 知三解三角形30 数学培优微专题 爪型三角形34 数学培优微专题 多边多角问题38 数学培优微专题 解三角形中的最值问题41 数学培优微专题 平行的证明45 数学培优微专题 垂直的证明48 数学培优微专题 度量角度51 数学培优微传题 度量体积和距离56 数学培优微专题 探索点的位置及边长的大小60 数学培优微专题 求标准方程66 数学培优微专题 建设限代化处理轨迹方程68 数学培优微专题 圆锥曲线中的三定问题70 数学培优微专题 圆锥曲线中的静态求值75 数学培优微专题 圆锥曲线中的动态最值80 数学培优微专题 回归分析与独立性检验84 数学培优微专题 概率分布列92 数学培优微专题 确定函数处理切线单调极值98 数学培优微专题 已知单调性求参数范围101 数学培优微专题 单调性由一个因式决定103 数学培优微专题 单调性由两个因式决定105 数学培优微专题 零点极值点个数问题107 数学培优微专题 不等式恒成立与分离110 数学培优微专题 不等式恒成立与端点相关113 数学培优微专题 指对与隐零点问题117 数学培优微专题 极值点偏移120 数学培优微专题 双变量问题125 数学培优微专题 等差等比的证明 1. 数列an的前n项和为Sn， Sn=2an-3n(nN *). (1)证明数列an+3是等比数列， 求出数列an的通项公式； 证明： Sn=2an-3n， Sn+1=2an+1-3(n+1)， 则an+1=2an+1-2an-3， an+1=2an+3， 即 an+1+3 an+3 =2， 数列an+3是等比数列， a1=S1=3， a1+3=6， 则an+3=62n-1=32n， an=32n-3； 2.已知数列 an中， a1=1,a2=4,an+2-4an+1+3an=0,nN * (1)证明数列 an+1-an是等比数列， 并求数列 an的通项公式； 解： (1)an+2-4an+1+3an=0， nN * an+2-an+1=3an+1-3an=3(an+1-an)， an+2-an+1 an+1-an =3， 数列an+1-an是等比数列， 公比q=3， 首项a2-a1=4-1=3 an+1-an=33n-1=3n, a2-a1=3， a3-a2=32， an-an-1=3n-1， 把上面的等式相加得an-a1=3+32+33+3n-1， an-1= 3(1-3n-1) 1-3 an= 3n-1 2 3.数列an满足a1= 1 2 ， an+1-an+anan+1=0(nN*) (1)求证 1 an 为等差数列， 并求an的通项公式； 解： (1)由已知可得数列 an各项非零， 否则， 若有ak=0结合ak-ak-1+akak-1=0ak-1=0， 继而ak-1=0ak-2=0a1=0与已知矛盾， 所以由an+1-an+anan+1=0可得 1 an+1 - 1 an =1， 即数列 1 an 是公差为1的等差数列， 所以 1 an = 1 a1 + n-1 =n+1， 所以数列 an的通项公式是an= 1 n+1 nN 2 4.已知数列 an满足a1=0， an+1=2an+n-1,nN ， an的前n项和为Sn， (1)求证： 数列an+n是等比数列， 并求an; (2)求S10 解： (1) an+1+n+1 an+n = 2an+n-1+n+1 an+n = 2an+2n an+n =2， 数列an+n是以a1+1=1为首项， 2为公比的等比数列， an+n=12n-1=2n-1即an=2n-1-n nN * (2)由(1)知， S10=(20-1)+(21-2)+(22-3)+ +(29-10) =(1+2+22+29)-(1+2+10) = 1-210 1-2 - 10(1+10) 2 =210-1-55=968 5.已知数列an的首项a1= 3 5 ,an+1= 3an 2an+1 ,nN* (1)求证： 数列 1 an -1 为等比数列； (2)记Sn= 1 a1 + 1 a2 + 1 an ， 若Sk100， 求正整数k的最大值； (3)是否存在互不相等的正整数 m， s， n， 使 m， s， n成等差数列， 且 am-1， as-1， an-1成等比 数列?如果存在， 请给予证明； 如果不存在， 请说明理由 解： (1)由题意 1 an+1 = 2 3 + 1 3an ， 所以 1 an+1 -1= 1 3an - 1 3 = 1 3 1 an -1 又 1 a1 -1= 2 3 0， 所以 1 an -10(nN*)， 所以数列 1 an -1 为等比数列 (2)由(1)可得 1 an -1= 2 3 1 3 n-1， 所以 1 an =2 1 3 n+1， 所以Sn= 1 a1 + 1 a2 + 1 an =n+2 1 3 + 1 32 + 1 3n =n+2 1 3 - 1 3n+1 1- 1 3 =n+1- 1 3n ， 若Sk100， 则k+1- 1 3k 0， 设等比数列an的公比为q， 则q1,an=4qn-1， 5 4 a3是a2和a4的等差中项， 2 5 4 a3=a2+a4即2q2-5q+2=0， q1， q=2， an=42n-1=2n+1 依题意， 数列bn为等差数列， 公差d=1 又s2+s6=32,(2b1+1)+ 6b1+15 =32， b1=2， bn=n+1； 3.在S3=12， 2a2-a1=3， a8=24这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并 作答 已知 an 是公差不为 0 的等差数列， 其前 n 项和为 Sn， _， 且 a1， a2， a4成等比数 列 (1)求数列an的通项公式； (2)设数列bn是各项均为正数的等比数列， 且b2=a1， b4=a4， 求数列an+bn的前 n项和Tn 解： (1)设数列 an公差为d， d0， 因为a1， a2， a4成等比数列， 则a22=a1a4 故 a1+d 2=a 1a1+3d 化简可得d2=a1d， 因为d0， 所以a1=d 所以an=nd， 若选S3=12， 则6d=12， 即d=2， 则an=2n， 若选2a2-a1=3， 则3d=3， 即d=1， 则an=n， 若选a8=24， 则8d=24， 即d=3， 则an=3n 4.已知等差数列an与正项等比数列bn满足a1=b1=3， 且b3-a3， 20， a5+b2既是 等差数列， 又是等比数列 (1)求数列an和数列bn的通项公式； 解： (1)设等差数列an的公差d， 等比数列bn的公比q(q0)， 5 由题意得20=b3-a3=a5+b2， 即 20=3q2-(3+2d) 20=(3+4d)+3q ， 解得d=2， q=3， an=3+2(n-1)=2n+1， bn=3n. 5.已知等比数列an的首项a1=3， 前n项和为Sn， 公比不为1， 4S9是S3和7S6的等差 中项 (1)求数列an的通项公式; 解： (1)设等比数列an的公比为q， 由于q1， 所以S3= a1(1-q3) 1-q ， S6= a1(1-q6) 1-q ， S9= a1(1-q9) 1-q ， 因为4S9是S3和7S6的等差中项， 所以8S9=S3+7S6， 即8 a1(1-q9) 1-q = a1(1-q3) 1-q +7 a1(1-q6) 1-q ， 8(1-q9)=1-q3+7(1-q6)， q3(q3-1)(8q3+1)=0， 由于q1且q0， 所以8q3+1=0， q3=- 1 8 ， q=-1 2 ， 又首项a1=3， 所以数列an的通项公式为an=3 - 1 2 n-1=(-1)n-1 3 2n-1 6.给出以下三个条件： 4a3， 3a4， 2a5成等差数列; 对于 n N *， 点 (n,Sn)均在函 数y=2x-a的图像上， 其中a为常数;S3=7.请从这三个条件中任选一个将下面 的题目补充完整， 并求解 设an是一个公比为q(q0,q1)的等比数列， 且它的首项a1=1， (1)求数列an的通项公式; 解： 若选： 因为4a3,3a4,2a5成等差数列， 所以23a4=4a3+2a5， 又因为数列 an是等比数列， 即q2-3q+2=0解得q=2或q=-1， 又a1=1， 所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列， 所以数列 an的通项公式an=2n-1， 若选： 点(n,Sn)均在函数y=2x-a的图像上， 所以Sn=2n-a， 又因为a1=S1=2-a， 所以a=1， 所以Sn=2n-1， 所以S2=3， 所以a2=2,q=2， 所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列， 所以数列 an的通项公式an=2n-1， 若选： S3=7， 因为 an是公比为q(q0,q1)的等比数列， 所以 a1(1-q3) 1-q =7， 即q2+q-6=0解得q=2或q=-3(舍去)， 所以数列 an是首项为1， 公比为2的等比数列， 所以数列 an的通项公式an=2n-1； 6 数学培优微专题 数列求通项之给Sn求an 1. 已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足Sn=2an-2n+1 (1)求an和Sn； 解： (1)S1=2a1-1， 得a1=1， 由Sn=2an-2n+1， 得Sn+1=2an+1-2 n+1 +1， -得an+1=2an+1-2an-2， 即an+1=2an+2， 即an+1+2=2(an+2) an+2为等比数列， 公比为2， 首项为a1+2=3， an+2=32n-1， an=32n-1-2， Sn=2an-2n+1=32n-2n-3; 2.已知数列an的前n项和为Sn， 且满足a1= 1 2 ， an+2SnSn-1=0(n2) (I)问： 数列 1 Sn 是否为等差数列？并证明你的结论； (II)求Sn和an； 解： (I)数列 1 Sn 是等差数列， 理由如下： 由已知， S1=a1= 1 2 ， 1 S1 =2， 当n2时， an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1， 1 Sn - 1 Sn-1 =2 1 Sn 为等差数列， 它的首项为2， 公差为2； (II)由(I)知 1 Sn =2+(n-1)2=2n， Sn= 1 2n ， 当n2时， an=-2SnSn-1=-2 1 2n 1 2(n-1) =- 1 2n(n-1) 当n=1时， 显然不符合以上通项， an= 1 2 ,n=1 - 1 2n(n-1) ,n2 ； 3.已知数列 an的前n项和为Sn， 且an= Sn+n 2 (1)若数列 an+t是等比数列， 求t的取值； (2)求数列 an的通项公式； 解： (1)由a1= S1+1 2 = a1+1 2 ， 得a1=1， 又由an= Sn+n 2 ， 可得Sn=2an-n， 当n1时， an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1)， 即an=2an-1+1， 所以a2=2a1+1=3， a3=2a2+1=7， 依题意， (3+t)2=(1+t)(7+t)， 解得t=1， 故t的取值为1； (2)由(1)知， 当n1时， an=2an-1+1， 所以an+1=2(an-1+1)， 7 又因为a1+1=2， 所以数列 an+1是以2为首项， 2为公比的等比数列， 所以an+1=22n-1=2n， 所以an=2n-1， 故数列 an的通项公式为an=2n-1； 4.在Sn+1=Sn+ 1， 4Sn-1 是 2n + 1 与 an的等比中项， 4Sn= (1 + an)2(an 0)这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答。