第三部分 万有引力与重力一、万有引力和重力的关系1．在地球表面上的物体地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为F，重力为G，向心力为Fn当然，真实情况不会有这么大偏差1）物体在一般位置时Fn=mrω2，Fn、F、G不在一条直线上2）当物体在赤道上时，Fn达到最大值Fnmax，Fnmax=mRω2，重力达到最小值：，重力加速度达到最小值，3）当物体在两极时Fn=0，G=F，重力达到最大值，重力加速度达到最大值，可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力，在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力即或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”2．离开地球表面的物体卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受到的重力，，该处的重力加速度这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。
为什么？）【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象若飞船的质量为，距地面的高度为，地球的质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度的大小为A．0 B． C． D．【答案】B【解析】 对飞船受力进行分析可知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即，可得飞船的重力加速度为，故选B学科网考点定位】万有引力定律的应用典例2】如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R设想挖掉以B为圆心、以为半径的球若忽略地球的自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为A． B． C． D．【答案】B【解析】本题采用割补法解题，设想没有挖掉以B为圆心、以为半径的球，则A点物体所受到的引力是以B为圆心、以为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，设地球的质量为M，以B为圆心、以为半径的球的质量为，则，，根据万有引力定律有，，，所以，根据牛顿第二定律得：挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为：，所以选B。
学科网考点定位】万有引力定律的应用典例3】地球因其自转而导致地球上的物体所受的重力与万有引力的大小之间存在差异，其中，两极处最小（差值为零），赤道处最大（差值也仅约为万有引力的），因此，在地球上，我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等，而有些星球，却不能忽略例如，有一个这样的星球，半径为R，绕过两极且与赤道平面垂直的轴自转，测得其赤道上一物体的重力是两极上的求该星球的同步卫星离地高度答案】R【解析】设物体的质量为m，星球的质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：F万==G极物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一分力就是重力G赤，有：F万=G赤+，G赤=G极得：①该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，设其离地表的高度为h，则有：②，联立①②可得：h=R【学科网考点定位】本题考查了万有引力定律的应用跟踪练习1】地球赤道上的重力加速度为g=9.8 m/s2，物体在赤道上的向心加速度约为an=3.39 cm/s2，若使赤道上的物体处于完全失重状态，则地球的转速应为原来的A．17倍 B．49倍 C．98倍 D．289倍【答案】A【解析】地球赤道上的物体受到的万有引力为，可得，角速度，设赤道上的物体完全失重状态下的角速度为，，角速度，后来的角速度与原来的角速度之比倍，所以A正确，BCD项错误。
学科网考点定位】万有引力定律的应用跟踪练习2】（2012新课标卷）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体一矿井深度为d已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，根据“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”可知，过地面的球壳对地面与矿井所在球壳之间的环形部分的引力为零设地面处的重力加速度为g，地球的质量为M，由地球表面的物体m1受到的重力近似等于万有引力，可得；再将矿井底部所在的球壳包围的球体取出来进行研究，设矿井底部处的重力加速度为，取出的球体的质量为，半径为r=R–d，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力为，又，，联立解得，A正确学科网考点定位】本题考查万有引力的相关知识跟踪练习3】（2014海南卷）设地球自转的周期为T，质量为M引力常量为G假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为A． B． C． D．【答案】A【解析】设物体的质量为m，物体在南极受到的支持力为N1，则；设物体在赤道受到的支持力为N2，则；联立可得，故选A。
学科网考点定位】万有引力定律、匀速圆周运动的向心力【跟踪练习4】宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，则关于g0、N下面正确的是A． B． C． D．N=0【答案】BD【解析】宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故飞船内物体处于完全失重状态，所以N=0，故C错误，D正确；在地球表面，在飞船轨道处，联立解得，故A错误，B正确学科网考点定位】本题考查天体运动、万有引力定律【跟踪练习5】组成星球的物质是靠引力吸在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T下列表达式正确的是A．T=2π B．T=2π C．T= D．T=【答案】AD【解析】由可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即解得，故A正确；因M=ρπR3，代入上式可得T=，故D正确。
学科网考点定位】此题考查了万有引力定律、匀速圆周运动二、万有引力与运动学的结合万有引力与运动学的结合点是重力加速度g，一般与抛体运动联系紧密；由万有引力与重力的关系式求解重力加速度，再与运动学结合，这里重力加速度g是一个桥梁典例4】（2015海南卷）若在某行星和地球上相对各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2:已知该行星的质量约为地球的7倍，地球的半径为R由此可知，该行星的半径约为A． B． C．2R D．【答案】C【解析】对于任意一个行星，设其表面的重力加速度为g根据平抛运动的规律h=gt2得，，则水平射程x=v0t=v0，可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为根据，得则，解得行星的半径，故选C学科网考点定位】万有引力定律，平抛运动的规律跟踪练习1】（2014重庆卷）如图所示为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停（速度为0，h1远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。
已知探测器总质量为m（不包括燃料），地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：（1）月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月球时的速度大小；（2）从开始竖直下降到接触月面时，探测器机械能的变化答案】（1） （2）【解析】（1）设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月球表面时的速度大小为v1由和得：由vt2−v2=2g′h2得（2）设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp由ΔE=ΔEk+ΔEp，有得【学科网考点定位】万有引力定律，运动学公式跟踪练习2】根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力，行星对太阳的引力，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离下列说法正确的是A．由和知B．F和大小相等，是作用力与反作用力C．F和大小相等，是同一个力D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力【答案】BD【解析】根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等方向相反，故A错误，B正确；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，故C错误；行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星圆周运动的向心力，故D正确。
学科网考点定位】牛顿运动定律、万有引力定律【跟踪练习3】如图所示，甲、乙两人分别站在赤道和纬度为45的地面上，则A．甲的线速度大 B．乙的线速度大 C．甲的角速度大 D．乙的角速度大【答案】A【解析】甲乙两物体角速度一样，同时由图可知：乙随地球转动的半径比甲小，根据：，可知甲的线速度大，故选项A正确学科网考点定位】万有引力定律、圆周运动8。