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1、对面积的曲面积分(15),三、对面积曲面积分的计算法,一、概念的引入,二、对面积曲面积分的概念与性质,四、小结 思考题,第四节 对面积的曲面积分,对面积的曲面积分(15),一、概念的引入,【实例】,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,面密度为常量时,用网格线分割曲面为,求和取极限,取近似,对面积的曲面积分(15),二、对面积的曲面积分的定义,1. 【定义】,对面积的曲面积分(15),3.【对面积的曲面积分的性质】,2. 【存在条件】(充分):,曲面的面积元素,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,（规定）,对面积的曲面积分(15),线性性
2、质,【特别地】,的面积,对面积的曲面积分(15),三、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,一投,二代,三换,化为二重积分计算,代：将曲面方程代入被积函数,换：换面积元,投：将曲面投影到坐标面得投影域,对面积的曲面积分(15),【注】,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数,（4）切记任何时候都要换面积元,对面积的曲面积分(15),【例1】,【解】,积分曲面为,投影域,一投、二代、三换,对面积的曲面积分(15)
3、,思考,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,对面积的曲面积分(15),【注】,对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性,对称于xoy （或yoz，或zox ）坐标面,若 f（x , y , z )关于z（或x，或 y ）是奇函数,若f（x , y , z )关于z（或x，或y）是偶函数,完全类似于三重积分的对称性,对面积的曲面积分(15),【例2】,【解】,如图示 设,上的部分, 则,原式 =,分别表示 在平面,对面积的曲面积分(15),【例3】,设,计算,【解】 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,对面积的曲面积分(
4、15),对面积的曲面积分(15),【例4】设是四面体,面, 计算,【解】 在四面体的四个面上,同上,对面积的曲面积分(15),对面积的曲面积分(15),【解】,依对称性知：,对面积的曲面积分(15),对面积的曲面积分(15),【例6】,对面积的曲面积分(15),【解】,左右两片投影相同,对面积的曲面积分(15),四、小结,2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）,1对面积的曲面积分的概念;,注意：一投、二代、三换,对面积的曲面积分(15),【思考题】,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,【思考题解答】,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,对面积的曲面积分(15),思考与练习,P158 题1；3；,解答提示:,P158 题1.,P158 题3.,设,则,这说明二重积分是第一类曲面积分的特例,对面积的曲面积分(15),
