第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念 - 1 -第1课时 集合的含义 - 1 -第2课时 集合的表示 - 7 -1.2 集合间的基本关系 - 13 -1.3 集合的基本运算 - 23 -第1课时 并集与交集 - 24 -第2课时 补集及综合运用 - 32 -1.4 充分条件与必要条件 - 40 -第1课时 充分条件与必要条件 - 41 -第2课时 充要条件 - 48 -1.5 全称量词与存在量词 - 57 -第1课时 全称量词与存在量词 - 57 -第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 - 64 -1.1 集合的概念【素养目标】1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理)3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)【学法解读】在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．第1课时 集合的含义基础知识知识点1 集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__．对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．知识点2 集合中元素的三个特性特性含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2无序性构成集合的元素间无先后顺序之分集合{1,0}和{0,1}是同一个集合思考2：集合元素的三个特性主要有哪些应用？提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．知识点3 元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa__∈__Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa__不属于__集合A思考3：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？(2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点4 常用数集及其记法数集意义符号非负整数集(或自然数集)全体非负整数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N*或N＋整数集全体整数组成的集合Z有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R思考4：N，N*，N＋有什么区别？提示： (1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0．(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．基础自测1．下列各组对象中不能组成集合的是( C )A．清华大学2021年入校的全体学生B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员C．中国著名的数学家D．不等式x－1＞0的实数解[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为( A )A． B．C．－2 D．－[解析] ∈R，且∉Q，故选A．3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)．①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R．[解析] π，为无理数，为实数，故填①④．4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．[解析] 方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2．题型探究题型一 集合的基本概念例1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2022年在中国举行的第24届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__．[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③．[归纳提升] 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．【对点练习】❶ 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2020年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3．∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．题型二 元素与集合的关系例2 若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－2是不是集合A中的元素．[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2．[解析] 因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝2，b＝－2，即可得到6－2，所以6－2是集合A中的元素．[归纳提升] 1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【对点练习】❷ (1)下列关系中，正确的有( C )①∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q．A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__2,1,0__．[解析] (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0．因此A中元素有2,1,0．例3 已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．[分析] －3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．[解析] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3．当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－．[归纳提升] 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．【对点练习】❸ 已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1____．[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1．第2课时 集合的表示基础知识知识点1 列举法把集合的所有元素__一一列举__出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法．思考1：哪些集合适合用列举法表示？提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0,1,2，…，n，…}．(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．知识点2 描述法1．设A是一个集合，把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．2．具体步骤：(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．(2)画一条竖线．(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．思考2：什么类型的集合适合描述法表示？提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法．基础自测1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“”．(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2．( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ )2．不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为__{1,2,3,4}__．3．方程组的解集可表示为__①②④__(填序号)．①；②；③{1,2}；④{(x，y)|x＝1且y＝2}．4．说明下列各集合的含义：A＝{y|y＝}；B＝{(x，y)|＝1}；C＝{(0,1)}；D＝{x＋y＝1，x－y＝－1}．[解析] A表示y的取值集合，由反比例函数的。