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1、数形结合思想在解题中的应用一、知识整合 1数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2.实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意
2、义。 3纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析 例1. 分析:， 例2. 解：法一、常规解法: 法二、数形结合解法: 例3. A. 1个.2个C 3个D. 个或2个或个 分析：出两个函
3、数图象,易知两图象只有两个交点，故方程有个实根，选(）。 例4 分析: 例5 分析:构造直线的截距的方法来求之。 截距。 例6. 分析:以为半径的圆在轴上方的部分,（如图）,而N则表示一条直线,其斜率k=1，纵截 例7. MF1的中点，表示原点，则|O|=（ ) 分析:设椭圆另一焦点为F2，(如图)， 又注意到N、各为MF1、F1F的中点， N是M1的中位线， 若联想到第二定义,可以确定点M的坐标,进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|O|,但这样就增加了计算量,方法较之显得有些复杂。例8 分析: 例9. 解法一（代数法）：, 解法二（几何法）: 例10. 分析：转化出一元二次
4、函数求最值;倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。 解： 第一象限的部分（包括端点）有公共点,（如图) 相切于第一象限时，u取最大值 三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。【模拟试题】一、选择题： 1 方程的实根的个数为（ ) A. 个B. 个. 3个.4个 2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是( ) A.B. .D. 3. 设命题甲:,命题乙:，则
5、甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 充要条件D 不充分也不必要条件 4. 适合且的复数的个数为( ） A.个1个.2个D. 个5. 若不等式的解集为则a的值为( ） . B. 2C 3D. 4 6. 已知复数的最大值为( ) . B. C. D 7 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为( ） A. (0，)B (，2）C.(，.，2 8. 定义在R上的函数上为增函数,且函数的图象的对称轴为，则( ） . B. C .二、填空题： 9. 若复数z满足，则的最大值为_。 10若对任意实数,都有,则、由小到大依次为_。 1.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围
6、为_。 12. 函数的最小值为_。 13. 若直线与曲线有两个不同的交点,则实数m的取值范围是_。三、解答题： 14 若方程上有唯一解, 求m的取值范围。 15. 若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。 . 设，试求下述方程有解时的取值范围。 【试题答案】一、选择题 1 提示:画出在同一坐标系中的图象，即可。 2.D 提示：画出的图象 情形: 情形2: 3.A 4. 提示:|Z-1|=1表示以（,)为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件,另外,点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足,故满足条件的z有两个。 . B 提示:画出的图象,依题意,从而。 6. C 提示:由可知，z2
7、对应的点在以（0,0）为圆心,以2为半径的圆上, 而 表示复数对应的点的距离， 结合图形,易知，此距离的最大值为: 7. 提示：令, 若1,两函数图象如下图所示,显然当时， 要使,只需使，综上可知 当时，不等式对恒成立。 若,两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。 可见应选C 8. A 提示:f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f（+2)的图象关于直线x=0(即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线=2对称，由f(x)在(）上为增函数，可知，f(x)在上为减函数,依此易比较函数值的大小。二、填空题： 9 提示：|Z|表示以原点为原心,以为半径的圆,
8、即满足Z|=2的复数Z对应的点在圆上运动,（如下图），而z+i|-(-1i）|表示复数Z与1i对应的两点的距离。 由图形,易知,该距离的最大值为。10. 提示：由知，(x）的图象关于直线=2对称，又为二次函数,其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知的大小。 1. 提示：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根,只需使 12. 最小值为 提示：对,联想到两点的距离公式,它表示点（x，1)到（1，0）的距离,表示点（x,1)到点(3，3)的距离,于是表示动点（x,1）到两个定点（1,0)、(3,3）的距离之和,结合图形,易得。 13 提示:yx表示倾角为4，纵截距为-m的直线方
9、程,而则表示以（0，0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点)，如下图所示,显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。三、解答题: 4. 解：原方程等价于 令，在同一坐标系内，画出它们的图象, 其中注意,当且仅当两函数的图象在0，3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解，由下图可见,当m,或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为3,0。 注：一般地,研究方程时，需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 1. 解:令表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与轴的交点),如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。 由于不等式解集 因此，只需要 a的取值范围为(2,)。16.解：将原方程化为:， 令,它表示倾角为4的直线系， 令，它表示焦点在x轴上,顶点为（-a，0)(a,0）的等轴双曲线在x轴上方的部分, 原方程有解， 两个函数的图象有交点，由下图，知 的取值范围为
