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1、摘要 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。 它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立 叶变换不能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特 性同时得到处理，具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂 信号时存在的局限性，具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值。 本设计主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Mal 软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩 的目的。分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果。 关键词:小波变换
2、;Mtla;图像分解;图像压缩 目 录 摘要.I 第 1 章 绪论 1.设计背景1 2 设计要求1 13 设计思路简介1 第 2 章 小波变换处理图像设计过程2 小波变换的分解和重构算法2 2.2 小波变换在图像压缩中的应用 .4 第 3 章软件设计与仿真 3. ATLAB 程序.6 3.2结果及分析7 第 4 章 总结与展望9 参考文献.10 第章 绪论 1 设计背景 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近 10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 uir变换相比,小波变换是空间 (时间）和频率的局部变换 ,因而 能有效地从信号中提取信息。
3、通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进 行多尺度的细化分析 ,解决了 r变换不能解决的许多困难问 题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图 像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是一个新的数学分支,它是泛函分 析、Furier分析、样调分析、数值分析的完美结晶 ;小波分析是时间 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、 计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得 了有科学意义和应用价值的成果。 12 设计要求 利用小波变换的基本原理在MATAB环境下编写程序对静态图像进行 分解并压缩，并观察分析其处理效果。 13 设
4、计思路简介 一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的 子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频）子图像上大部分点都接近于 0,越是高频这种现象越明显。对一个图像来说,表现一个图像最主要的部分是 低频部分，所以利用小波分解就可以达到去掉图像的高频部分而只保留低频部 分的目的。 LAB是矩阵实验室(Mai Labortoy)的简称,它 在数学类科技应用软件中在 数值计算方面首屈一指。LAB可以进 行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其它编程语 言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处 理、信号检测 、金融建模设计与分析等领域
5、。 本设计利用MTAB工具箱中的ave Tolox小 波工具箱对图像进行小波变换。 第章小波变换处理图像设计过程 .1 小波变换的分解和重构算法 .1 小波变换的分解算法 小波是函数空间（R)中满足下述条件的一个函数或者信号 （x) L 2 这里，=表 R * 示非零实数全体。 对于任意的函数或者信号，其小波变换定义为)(xf dx a bx xf a dxxxfba RRba fW )()( | 1 )()(),( ),( 因此,对任意的函数,它的小波变换时一个二元函数。)(xf 另所谓多分辨分析是指设;是()上的一列闭子空间,其中的一 Vj Zj L 2 函数，如果它们满足如下五个条件,即
6、 （1)单调性:，; VV jj1 Zj (）唯一性：；0 VI j Zj (3)稠密性:()； VY j Zj L 2 （4）伸缩性：，; VV jj xfxf 1 )2()( Zj （5）Risz 基存在性：存在，使得;构成的 V t 0 )()(2nx i Zn Vj Rez 基。称为尺度函数。那么称;，是(R)上的)(t Vj Zj)(t L 2 一个多分辨分析。 若定义函数,，则由多分辨分析的定义，容)()( 222 , nxx i j nj Znj , 易得到一个重要结果,即函数族 ；)()( 222 , nxx i j nj Zn 是空间的标准正交基。关于多分辨分析,在这里以一个
7、三层的分解进行说明， Vj 其小波分解树如图.1 所示(A 表示低频,D 表示高频)。 * 2 | | )(| R d x C S A1 A2 A3 D2 D3 D1 图 2. 小波分解法 从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频 部分则不予考虑。分解具有关系, DDDA S 1233 另外强调一点,这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解， 则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解，依次类推。在理 解多分辨分析时,必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率 上高度逼近空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各 异的
8、带通滤波器。从图2.可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的 分解,使频率的分辨率变得越来越高。 2.2 小波变换的重构算法 设、（i1,3)是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列, p jl, q i jl, 即 =，,=,。则有重构算法为 p jl, pp jl 21 p jl 1 , qp jl 21 q jl 2 , pq jl 21 p jl 3 , qq jl 21 c mnk,; 1 d q c p i jlk j i jmln jlk jmln jl ,; 3 1 2,2 ,; 2,2 , 小波重构的数据传递示意图如图2.2所示 2 2 2 22 2 ),(mnc )(
9、1 n q )( 2 m q )( 1 n p )( 2 m p )( 1 n q )( 1 n p LL LH HL HH 图 2. 小波重构数据流示意图 2.2 小波变换在图像压缩中的应用 二维离散小波变换后的系数分布 构成了信号的二维正交小波分解系数(如图23所示）,),(yxf S3W 3 3 W 1 3W 2 3 W 3 2 W 1 2W 2 2 W 3 1 W 1 1W 2 1 图. 二维正交小波分解系数 它们每一个都可被看做一幅图像,给出了垂直方向的高),( 1 mnf Wj ),(yxf 频分量的小波分解系数，给出了水平方向的高频分量的小波),( 3 mnf Wj ),(yxf
10、 分解系数,给出了对角方向高频分量的小波分解系数,),( 2 mnf Wj ),(yxf 给出了的低频分量的小波分解系数。由此可见，若用，f SJ ),(yxf SJWj 1 ，分别表示，经 Wj 2 Wj 3 ),(mnf Sj ),( 1 mnf Wj ),( 2 mnf Wj ),( 3 mnf Wj 21 亚抽样后的变换系数(简称为子图像),则任一图像都可以分解为 j=-J,- 1 之间的+1 个离散子图像:,，其中是原图像的一个近 SJWj 1 Wj 2 Wj 3 SJ ZZ jjjj jj mnf W mnf W mnf W mnf S mn ),(),(),(),( 321 1,
11、., ),( G H2 f SJ 1 2 G H H G 2 2 2 2 W 1 1 W 2 1 W 3 1 SJ 似，(i=，,3；j-J，,-1)则是图像在不同方向、不同分辨率下的 W i j 细节;如果原图像有个像素，则子图像,，分别有个 SJWj 1 Wj 2 Wj 3 N i 2 像素,因而分解后总的像素数为 NT NNNN j j iJ T 22 1 2 3 44 可见,分解后总的像素数不变。 二维数字信号也即数字图像,对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图 像的书画结果就是一个巨大数字矩阵,图像处理就在这个矩阵上完成。所以,可 将二维数字信号看做,即 dmn ),( 0 mnf
12、 S = dmn ),( 0 mnf S R dxdymynxyxfmnyx yxf 2 ),(),(),)(,( 0 * ),( 并采用与一维情况类似的mala算法。由于两次一维小波变换来实现 一次二维小波变换,所以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。 从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图分别如图3.4所示。 图.4 二维小波变化的框图 第章 软件设计与仿真 1 MATLB 程序 下面的实例是基于二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后, 可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。 高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于0，越是高频这种
13、现象越明显。 对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的 压缩方法是利用小波分解,去掉图像的高频部分而只保留低频部分。 clc; clear al; a=mread(.bp）; X=gb2gray（a); ubpo(221）;ig（X);coormap(gra(56); l(原始图像）; issquare; ,s=waedec(X,2,ior3.7); a1=appcoef2(,s,br37，1); c1=dtce2(h,c，s,1）; cv1=ecef(v,1); cd1=detcoef2(d，,s,)； a1=wrcoef2(a,c,，ior37,); h1wrc
14、ef2(h，c,s，ior37，1); v1wrcoef2(,c，s，bior.7,1); dwrcof（d,s,bior37,1); c1=a1,1;1，d1; subpo(222);imge（c1); axi qure itle（分解后低频和高频信息）; 1=pcof2(c,s，bio37,1)； ca1=wdemat(ca，4,mt,); a1=5*a; suplo(223)；image（ca)；coormap(gray(26）)； ttle(第一次压缩图像)； s square ca2=apcoe2(c，s,br37,2）; a2=codeat（ca2,4,mt,0); c2=0.25
15、*ca2; blot(24);imge（ca2);colormp(gray(56); aissqa; tite(第二次压缩图像); 3. 结果及分析 运行程序，得到的结果如图.1 所示 图 3. 运行结果 从图中可以看出,第一次压缩我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频 信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为/3)；第二次压缩是提取第一层 分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比比较大 （1/12),压缩效果在视觉上也基本过得去，它不需要经过其它处理即可获得较 好的压缩效果。 第 4 章总结与展望 这次设计利用小波变换完成了对静态图像进行压缩的目的，基本上实现了 设计
16、的要求,在这里对江老师的指导和帮助表示感谢。 图像压缩是一个很有发展前途的研究领域,它的研究就是寻找高压缩比的方 法且压缩后的图像要有合适的信噪比,在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、 传输、恢复的过程中,还要求图像的失真度小。而将小波分析引入图像压缩的研 究范畴,当一个图像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨 率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率子图像上大部分点的数值都接近 0，越高就越明显。而对于一个图像来说,表现一个图像的最主要部分是低频部 分。而且小波分析能使压缩比高、压缩速度快,压缩后能保持信号与图像的特征 基本不变。在数字图像处理中具有很强的使用价值。 参考文献 程正兴.小波分析算法与应用M.西安:西安交通大学出版社，99 2 冉启文小波变换与分数傅立叶变换理论及应用.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 200 4 秦前清.实用小波分析M.西安:西安电子科技出版社,1998 5郑治真小波变换及其 Mtab 工具箱的应用M北京:地震出版社,200 胡学龙，许开宇数字图像处理M.北京:电子工业出版社,206.
