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1、微分中值定理的证明与应用 090301 孙吉斌一 中值定理及证明:1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 (Fermt )设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导,若点为的极值点,则必有 罗尔中值定理:若函数满足如下条件:(i)在闭区间a,b上连续;(i)在开区间(a,b)内可导;(iii),则在(,b)内至少存在一点,使得()=。证明:因为在a,b上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两种情况讨论:(i)若 = m, 则 在a,b上必为常数,从而结论显然成立。(ii)若m M,则因 (a)=(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点处取得,从而是的极值点,由
2、条件(ii)在点处可导,故由费马定理推知=0注1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。注2:习惯上把结论中的称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的,但缺少其中任何一个条件,定理的结论将不一定成立。例如: 易见,F在=-不连续,在x=1不可导,(2)F(), 即罗尔定理的三个条件均不成立,但是在(-2,2)内存在点 ,满足 注:罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如:在 -1, 上满足罗尔定理的条件,显然在(-1,)内存在无限多个 = 使得=0。2、拉格朗日(Lagrnge)中值定理:若函数 满足如
3、下条件:i)在闭区间上连续;ii)在开区间()内可导;则在(a,)内至少存在一点,使得证明此定理要构造辅助函数 ,使得满足罗尔定理的条件()(iii) 且,从而推得证明:作辅助函数显然,F()=F(b)(=0),且F在,b上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点(,b),使得 即 注罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线 与直线AB,之差,事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转,使在新坐标系下,线段AB平行于新轴(F(a)=F(b))。注
4、3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;同时通过巧妙地数学变换,将一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价形式,可根据不同问题的特点,在不同场合灵活采用: 注5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为:在(a,)可导可以推出在(a,)连续,但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉,改成“函数在(a,)可导且在a右连续在b左连续”这样,两个条件互相独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述。 、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间
5、I上可导且为I上的常值函数.证明: 任取两点 (设),在区间 上应用拉格朗日中值定理,存在 (),使得推论2 函数和在区间I上可导且推论(导数极限定理)设函数在点的某邻域()内连续,在U()内可导,且极限存在,则在点可导,且证明:分别按左右导数来证明上式成立(1) 任取,在上满足拉格朗日中值定理条件,则存在,使得由于 对 有 ( 或; 在内任子区间上2可微极值点判别法: 极值问题: 极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.2. 可微极值点的必要条件: Ferma定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2.2极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否
6、为极值点.(充分条件) 设函数在点连续,在邻域和内可导. 则 在内 在内时, 为的一个极小值点; 在内 在内时, 为的一个极大值点; 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点. (充分条件) 设点为函数的驻点且存在则 当时, 为的一个极大值点; 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二用Tayor公式展开到二阶, 带ao型余项.(充分条件 ) 设,而.则 为奇数时,不是极值点; 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.2.3 利用单调性证明不等式:原理1: 若, 则对, 有不等式.例4 证明:对任意实数和, 成立不等式 证 取在内于是, 由, 就有 ,即
7、 .不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,且;又 则 时, (不等式原理的其他形式.)2.4.1 凸性的定义及判定:()凸性的定义:由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数在区间上连续.若对, 恒有 , 或. 则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的 凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2) 凸性的几何意义:倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.2.4. 利用二阶导数判断曲线的凸向:设函数在区间内存在二阶导数,则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”
8、.证法一( 用aylo公式) 对 设, 把在点展开成具agrange型余项的Tayor公式, 有 .其中和在与之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中,即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸证法二 ( 利用Lrng中值定理. ) 若则有, 不妨设,并设,分别在区间和上应用Laran中值定理,有,有 又由 , 单调函数的最值: 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时,亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点. 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点. 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点31最值应用问题:例17 、两村距输电线(直线)分别为和,长. 现两村合用一台变压器供电问变压器设在何处,输电线总长最小.解 设,并设输电线总长为.则有 , 解得 和 ( 舍去 ).