《自-微分中值定理的证明与应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自-微分中值定理的证明与应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分中值定理的证明与应用 090301 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 （Fermt )设函数在点的某邻域内有定义,且在点可导，若点为的极值点，则必有 罗尔中值定理：若函数满足如下条件:（i）在闭区间a，b上连续;(i)在开区间（a，b）内可导；(iii)，则在（,b）内至少存在一点,使得()=。证明:因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论:(i)若 = m， 则 在a，b上必为常数,从而结论显然成立。(ii）若m M，则因 (a)=(b）,使得最大值M与最小值m至少有一个在(a，b)内某点处取得，从而是的极值点，由
2、条件(ii)在点处可导，故由费马定理推知=0注1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。例如： 易见,F在=-不连续，在x=1不可导,(2)F(）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2,2)内存在点 ,满足 注：罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如：在 -1， 上满足罗尔定理的条件，显然在(-1,)内存在无限多个 = 使得=0。2、拉格朗日(Lagrnge）中值定理：若函数 满足如
3、下条件：i)在闭区间上连续；ii）在开区间(）内可导；则在(a，）内至少存在一点,使得证明此定理要构造辅助函数 ，使得满足罗尔定理的条件（)(iii) 且,从而推得证明：作辅助函数显然,F()=F(b)(=0)，且F在，b上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点（,b),使得 即 注罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线 与直线AB,之差,事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新轴（F(a)=F（b）)。注
4、3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用: 注5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为:在(a，）可导可以推出在(a,）连续,但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，）可导且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述。 、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间
5、I上可导且为I上的常值函数.证明: 任取两点 (设）,在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在 ()，使得推论2 函数和在区间I上可导且推论(导数极限定理）设函数在点的某邻域（)内连续，在U()内可导,且极限存在,则在点可导,且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取,在上满足拉格朗日中值定理条件,则存在，使得由于 对 有 ( 或; 在内任子区间上2可微极值点判别法: 极值问题: 极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.2. 可微极值点的必要条件： Ferma定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2.2极值点的充分条件: 对每个可疑点， 用以下充分条件进一步鉴别是否
6、为极值点.（充分条件） 设函数在点连续,在邻域和内可导. 则 在内 在内时, 为的一个极小值点; 在内 在内时, 为的一个极大值点; 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点. (充分条件） 设点为函数的驻点且存在则 当时, 为的一个极大值点； 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二用Tayor公式展开到二阶, 带ao型余项.(充分条件 ） 设,而.则 为奇数时,不是极值点； 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.2.3 利用单调性证明不等式:原理1: 若， 则对， 有不等式.例4 证明：对任意实数和, 成立不等式 证 取在内于是, 由, 就有 ,即
7、 .不等式原理： 设函数在区间上连续,在区间内可导，且；又 则 时， （不等式原理的其他形式.)2.4.1 凸性的定义及判定:（）凸性的定义:由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数在区间上连续.若对, 恒有 , 或. 则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的 凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2) 凸性的几何意义:倘有切线，与切线的位置关系;与弦的位置关系；曲线的弯曲方向.2.4. 利用二阶导数判断曲线的凸向：设函数在区间内存在二阶导数,则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”
8、.证法一( 用aylo公式) 对 设, 把在点展开成具agrange型余项的Tayor公式， 有 .其中和在与之间. 注意到 ， 就有 , 于是 若有 上式中,即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸证法二 ( 利用Lrng中值定理. ) 若则有, 不妨设,并设,分别在区间和上应用Laran中值定理,有，有 又由 , 单调函数的最值: 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点， 则当为极大值点时,亦为最大值点； 当为极小值点时， 亦为最小值点. 若函数在内可导且仅有一个极大(或小）值点, 则该点亦为最大(或小）值点. 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点31最值应用问题:例17 、两村距输电线(直线)分别为和,长. 现两村合用一台变压器供电问变压器设在何处，输电线总长最小.解 设,并设输电线总长为.则有 , 解得 和 ( 舍去 ).
