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1、二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题（共9小题）1 .如图，抛物线经过A （ - 1, 0）, B （5, 0）, C （0,莒）三点. 2（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A, C, M, N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理2 .如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于 点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B （点B在点A右 侧）.（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若
2、点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M, F, B. P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 试说明理由.3 .已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸菖肝6与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将NOBA对折，使点0的对应点H落在直线AB上，折痕交 x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的
3、坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q, 使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，4 .已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸-1+6与x轴、y轴的交点 分别为A、B,将NOBA对折，使点0的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴 于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平 行四边形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理
4、由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出 QA-QO的取值范围.5 .如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边0A与x轴重合， ZOAB=90, 0A=4, AB=2,把RtZiOAB绕点0逆时针旋转90。，点B旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的 周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由.（3）如果x轴上有一动
5、点H,在抛物线上是否存在点N,使0 （原点）、C、H、 N四点构成以0C为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在， 请说明理由.6 .如图，直线y= -且x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM, 点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,第1
6、页（共1页）7 .如图，抛物线y=ax?+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4, 0）、C （ 2, 0）,连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DEJ_x轴， 垂足为E,交AB于点F.（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作 圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标：（3）过D点作直线DHAC交AB于H,当DHF的面积最大时，在抛物线和直 线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的M、N两点的横坐标.8已知直线山地（目。）过点F（0,。，与抛物线y寺2
7、相交于B、C两(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线， 与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、0、F为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m0),过点 E (0. - 1)的直线 lx 轴，BRI 于R, CS_LI于S,连接FR、FS.试判断aRFS的形状，并说明理由.9.抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), B (3, 2)两点，若两动点D、E同时从原 点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1
8、个单位长度，点D的 速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1 .(2016安顺)如图，抛物线经过A ( -1, 0), B (5, 0), C (0,3)三点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点
9、N,使以A, C, M, N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+的+c (aWO),VA ( -1, 0), B (5, 0), C (0,二)三点在抛物线上，2c=0. 25a+5b+c=0抛物线的解析式为：y=L(2-2x-2 22第1页(共1页)（2） ,抛物线的解析式为：y_x22x 包, 22其对称轴为直线x=-=- T-2,2a 2吟 乙连接BC,如图1所示，VB (5, 0), C (0,-&)，2，设直线BC的解析式为y=kx+b (kWO), f5k+b=0直线BC的解析式为y=lx -回,
10、22当X=2时，y=l=-三， 22/P （2,-三）；2（3）存在.如图2所示,当点N在x轴上方时,如图，过点N2作N2DJ_x轴于点D, 在AAWD 与2co 中, ,ZN2AD=ZCM2O，AN2二cm2zak2d=zn2co/.AN2DAM2CO （ASA）,A N2D=0C=-,即N2点的纵坐标为立. 22/Ax （2016十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于 点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点 B （点B在点A右侧）. （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行
11、y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M, F, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 试说明理由. - 2x -2至, 22 2/.N2（2+VI, 5）, N3（2 - a/14 22解得乂=2-旧或x=2 - V14，一旦），仙，互）或（2 -JH，互）.222第1页（共1页）【解答】解：(1)当y=0时,-3x - 3=0, x= - 1AA ( - 1, 0)当 x=0 时，y= - 3, AC (0, - 3), l-b+c=0 c =-3. fb=-2 c=-3抛物线
12、的解析式是：y=x2 - 2x - 3. 当 y=0 时,x2 - 2x - 3=0, 解得：X1= - 1, X2=3 /B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0, - 3)直线 BC 的解析式是：y=x - 3,设 M (x, x - 3) (0WxW3),则 E (x, x2 - 2x - 3)/ME= (x - 3) - (x2 - 2x - 3) = - x2+3x= - (x-) 2+-；24.当*=旦时，ME的最大值为 24(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值时ME-, E (老，-至)，M (3，-三) 42422,MF耳 BF=OB-OF金 22设
13、在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形,则 BPMF, BF/7PM./.Pi (0, -&)或 P2(3,一国)22由(1)知 yd - 2x - 3= - 3W - W2ill (1)知 y=x2 - 2x - 3=0W -旦2当 Pi（O, -&）时, 2Pl不在抛物线上.当 P2 （3, -&）时, 2P2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形 是平行四边形.3. （2016义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将NOBA对折，使点O的对应点H落在 直线A
14、B上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q, 使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由.【解答】解：（1）连接CH由轴对称得 CHJAB, BH=BO, CH=CO在cha中由勾股定理，得 ac2=ch2+ah2直线厂+6与
15、X轴、y轴的交点分别为A、B两点j x=0 时，y=6, j y=0 时，x=8，B (0, 6), A (8, 0) ，OB=6, OA=8,在RtZiAOB中，山勾股定理，得AB=10设 C (a, 0), OC=aACH=a, AH=4, AC=8 - a,在 Rt/XAHC 中，由勾股定理，得(8 - a) 2=32+42解得 a=3C (3, 0)第1页（共1页）设抛物线的解析式为: 6=e 0=64a+8b+cu 0-9a+3b+cy=ax2+bx+c,由题意，得1解得：u 11b 二二c=6抛物线的解析式为:.1 z 11、2 25（2）由（1）的结论，得D （口 Z）216.DF;型16设BC的解析式为:y=kx+b,则有/6=b。二 3k+b解得产6
