思维特训(十七) 线段上的动点问题方法点津 ·所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．典题精练 ·类型一 动点无速度型1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100 km，A，C间的距离为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为x km.(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图17－S－12．如图17－S－2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A，B，C三点共线)，已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图17－S－23．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a＋9)2＋|7－b|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x.(1)求线段AB的长．(2)数轴上是否存在点P，使PA＝3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．类型二 动点有速度型4．如图17－S－3，P是线段AB上任意一点，AB＝12 cm，C，D两点分别从点P，B开始，同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为t s.(1)若AP＝8 cm.①求运动1 s后，CD的长；②当点D段PB上运动时，试说明AC＝2CD.(2)如果t＝2，CD＝1 cm，试探索AP的长．图17－S－35．如图17－S－4，B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10 cm，设点B运动的时间为t s.(1)当t＝2时，①AB＝________ cm；②求线段CD的长．(2)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．图17－S－46．如图17－S－5甲，O是线段AB上一点，C，D两点分别从O，B同时出发，以2 cm/s，4 cm/s的速度在直线AB上运动，点C在O，A之间，点D在O，B之间．(1)设C，D两点同时沿直线AB向左运动t s时，AC∶OD＝1∶2，求的值；(2)在(1)的条件下，若C，D两点运动s后都停止运动，此时恰有OD－AC＝BD，求CD的长；(3)在(2)的条件下，将线段CD段AB上左右滑动如图17－S－5乙(点C在O，A之间，点D在O，B之间)，若M，N分别为AC，BD的中点，试说明线段MN的长度始终不发生变化．图17－S－5详解详析1．解：(1)如图①，当点P段BC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PB＋PC＝40＋x＋100－(40＋x)＋x＝(100＋x)km；如图②，当点P段AC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PC＋PB＝40－x＋x＋60＋x＝(100＋x)km.综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100＋x)km.(2)由(1)得100＋x＝105，解得x＝5.答：车站设在C村左侧或右侧5 km处．(3)当x＝0时，x＋100＝100，此值最小．答：车站设在C村时到三个村庄的距离之和最小．2．解：以A小区为停靠点，则所有人的路程之和为15×100＋10×300＝4500(米)，以B小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×100＋10×200＝5000(米)，以C小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×300＋15×200＝12000(米)．因为4500<5000<12000，所以该停靠点的位置应设在A小区．3．解：(1)由(a＋9)2＋|7－b|＝0，得a＋9＝0，7－b＝0.解得a＝－9，b＝7.所以线段AB的长为b－a＝7－(－9)＝16.(2)当点P段AB上时，PA＋PB＝AB，即3PB＋PB＝AB＝16，PB＝4，此时7－x＝4，解得x＝3；当点P段AB的延长线上时，PA－PB＝AB，即3PB－PB＝AB＝16，PB＝8，此时x＝7＋8＝15.综上所述，x的值为3或15.(3)当点P段AB上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MB＝AB＝8，NB＝PB＝2.由线段的和差，得MN＝MB－NB＝8－2＝6；当点P段AB的延长线上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MB＝AB＝8，NB＝PB＝4.由线段的和差，得MN＝MB＋NB＝8＋4＝12.综上所述，MN的长为6或12.4．解：(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm)，因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，所以PB＝AB－AP＝4 cm，所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm)．②因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，所以PB＝4 cm，AC＝(8－2t)cm，所以DP＝(4－3t)cm，所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝(4－t)cm，所以AC＝2CD.(2)当t＝2时，CP＝2×2＝4(cm)，DB＝3×2＝6(cm)．当点D在点C的右边时，如图①所示：因为CD＝1 cm，所以CB＝CD＋DB＝7 cm，所以AC＝AB－CB＝5 cm，所以AP＝AC＋CP＝9 cm；当点D在点C的左边时，如图②所示：因为AD＝AB－DB＝6 cm，所以AP＝AD＋CD＋CP＝11 cm.综上所述，AP＝9 cm或11 cm.5．解：(1)①因为B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，所以当t＝2时，AB＝2×2＝4(cm)．②因为AD＝10 cm，AB＝4 cm，所以BD＝10－4＝6(cm)．因为C是线段BD的中点，所以CD＝BD＝×6＝3(cm)．(2)不变．因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，所以EB＝AB，BC＝BD，所以EC＝EB＋BC＝(AB＋BD)＝AD＝×10＝5(cm)．6．解：(1)设AC＝x cm，则OD＝2x cm，又因为OC＝2t cm，BD＝4t cm，所以OA＝(x＋2t)cm，OB＝(2x＋4t)cm，所以＝.(2)设AC＝x cm，则OD＝2x cm，又OC＝2×＝5(cm)，BD＝4×＝10(cm)，由OD－AC＝BD，得2x－x＝×10，解得x＝5，所以OD＝2×5＝10(cm)，所以CD＝OD＋OC＝10＋5＝15(cm)．(3)在(2)中有AC＝5 cm，BD＝10 cm，CD＝15 cm，所以AB＝AC＋BD＋CD＝30 cm.设AM＝CM＝m cm，BN＝DN＝y cm，因为2m＋15＋2y＝30，所以m＋y＝7.5，所以MN＝CM＋CD＋DN＝m＋15＋y＝22.5(cm)．即线段MN的长度始终是22.5 cm. 。
