小升初数学备考之——数论篇 在小升初数学择校考试中，我们通常将其内容分为五大板块：计算问题、数论问题、几何 问题、应用题以及数学原理类问题 那么，什么是数论呢？数论最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又进 一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠” 翻开任何一本数学书，数论的内容都占据了不少的版面在小升初择校考试及小学各 类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的 12%左右，命 题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定 学生是否可以在选拔考试中拿到满意的分数既然数论知识这么重要，那么，在小升初择 校考试中，同学们在数论问题上的得分率如何呢？从近几年武汉市某些学校小升初试卷来 看，数论问题在五大板块内容中得分率较低，得分率 38.5%左右 目前小学阶段的数论知识考点主要有哪些呢？它们真的就这么难吗？ 小学阶段的数论知识点主要有：整除及整除特征、奇偶性、极值问题；因数倍数、质数与 合数、分解质因数；带余除法、同余性质、中国剩余定理、乘方等。
下面我们就从近年来武汉市各重点学校小升初择校试题来看看这些知识的难度究竟如何吧！小升初试题选讲（一） ①从 0、4、2、5 四个数字中选出三个组成一些能够同时被 2、3、5 整除的三位数，其中最 小的三位数是（ ） 【2009 年武汉市十一中试题】 ②期末考试六年级（1）班数学平均分是 90 分，总分是□95□，这个班共有（ ）名学 生 【2008 年水二中试题】 ③如果形如“2□1□”的四位数能被 9 整除，那么这样的四位数有（ ）个 【2010 年 武珞路中学试题】 ④一个五位数，如果去掉万位和个位上的数字，就是一个能被 2、3、5 同时整除的最小三位数，在满足条件的这些五位数中，能被 11 整除的最大的一个数是（ ） 【2008 年武钢实验学校试题】 这类题型主要考察数的整除特征 试题简析： ① 题难度较小，主要考察能被 2、3、5 整除的数的特点，被 2、3、5 整除数的特点是学 生在课本上所学过的内容，但是这道题有一个限制条件，要求的是最小的三位数，需 要学生加以注意被 2、5 整除末尾为 0，被 3 整除各个数位数字和为 3 的倍数，那么 十位和百位为 2 和 4 或者 4 和 5，最小的三位数为 240。
② ②本题是被 2,5,9 整除数的特点以及平均数知识的综合考察总人数=总分÷平均分， 人数必须是整数，也就是说总分能够被 90 整除，90 整除的特征没有学过，但是90=2×5×9，也就是总分能够被 2、5、9 整除能被 2、5 整除，末尾一定为 0，被 9 整除属于课本拓展知识，学校老师讲解与训练不多，被 9 整除与被 3 整除的特征类似， 所有数位数字之和是 9 的倍数，也就是□＋9＋5＋0 是 9 的倍数，那么千位数字为 4 知道了总分 4950 分，那么人数为 4950÷90=55（人） ③ ③本题是被 9 整除数特征及枚举法的综合考察被 9 整除，则 2＋□＋1＋□=3＋□＋□是 9 的倍数，□＋□=6 或者 15，6=0＋6=1＋5=2＋4=3＋3=4＋2=5＋1=6＋0（7 种） ，15=9＋6=8＋7=7＋8=6＋9（4 种） ，因此答案为 11 种 ④ ④本题考察了被 2、3、5 整除以及被 11 整除数的特点上面已经说过，2、3、5 数整 除的特征是学校要求掌握的内容，本题的难点在于被 11 整除数的特征上去掉万位和 个位后能够被 2、3、5 整除而且最小，那么是 120，也就是□120□要被 11 整除。
那么 被 11 整除数的特征是什么呢？（能被 11 整除的数的特征：把一个数由右边向左边数， 将奇数位上的数字与偶数位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是 11 的 倍数(包括 0)，那么，原来这个数就一定能被 11 整除 ） （□＋2＋□）－（1＋0）=□ ＋□＋1 是 11 的倍数，又因为题目要求是满足条件的最大 5 位数，那么万位填 9，个 位填 1 ⑤ ⑥ 从上面四题我们可以看出，小升初择校时除要求我们学生掌握一般的 2、3、5 整除数 的特征外，还要求学生很熟悉被 4（25） 、8（125）以及 7、11、13 整除数的特点简 单的被 2、3、5 整除数的特征学生在学校很熟悉，问题不大，但是后面的被 4（25） 、 8（125）以及 7、11、13 整除数的特点，就需要通过课外的系统学习才能掌握了！ ⑦ 小升初试题选讲（二） ⑧ ①用长为 45 厘米、宽为 30 厘米的一批瓷砖，铺成一个正方形，至少需要瓷砖的块数 为（ ） 【2007 年武汉三中试题】 ⑨ ②有一些长 6 厘米，宽 4 厘米，高 8 厘米的长方体木块，如果用这些木块组成一个正 方体，则至少需要这种木块（ ）块。
【2010 年武汉市十一中试题】 ⑩ ③有张长方形纸长 105 厘米，宽 70 厘米小明想把它剪成大小一样边长是整厘米数的 正方形，而不能剩下边角料有几种不同剪法？各能剪出几个正方形？【2008 年解放 中学试题】 ⑪ ④将一个长和宽分别是 170.3 厘米和 65.5 厘米的长方形切割为一些正方形，至少需要 切割（ ）刀 【2008 年武钢实验学校试题】 ⑪ ⑤一个自然数除 200 余 5，除 300 余 1，除 400 余 10，则这个自然数是（ ） 2009 年武汉市一中试题】 ⑪ 这类题型主要考察最大公因数与最小公倍数的应用 试题简析： ⑪ ①②题均是最小公倍数的实际应用 ⑪ ①题中要铺成正方形，那么正方形边长既要是长方形长的倍数，又要是宽的倍数，也 就边长是长和宽的倍数，求出 45 厘米与 30 厘米的最小公倍数为铺成的正方形的边长， （30,45）=90，即边长为 90 厘米，再根据面积不变， （90×90）÷（30×45）=6（块） ⑪ ②题中要组成一个正方体，那么正方体的棱长是长方体长的倍数，是宽的倍数，同时 也应是高的倍数，也就是正方体的棱长为长方体长、宽、高的倍数，求出 6 厘米、4 厘 米、8 厘米的最小公倍数就是正方体的棱长， （6,4,8）=24（厘米） ，正方体的棱长就是 24 厘米，根据体积不变， （24×24×24）÷（6×4×8）=72（块） 。
③④⑤题均考察是 公因数 ⑪ ③题中要剪成正方形而没有余料，那么正方形的边长既是长方形长的因数，同时也是 长方形宽的因数，那么 105 与 70 的公因数有 1、5、7 及 35，因此有四种剪法边长为 1 时， （105×70）÷（1×1）=7350（个） ；边长为 5 时， （105×70）÷（5×5） =294（个） ；边长为 7 时， （105×70）÷（7×7）=150（个） ；边长为 35 时， （105×70）÷（35×35）=6（个） ； ⑪ ④题中，首先注意单位的统一，将厘米化成以毫米做单位，至少切多少刀，就是边长 要求尽量大，所以要找 1703 毫米与 655 毫米的最大公因数，1703 与 655 的最大公因 数用一般的的短除法很比较麻烦，可以采用将 1703 与 655 分别分解质因数，655=5×131 1703=13×131，[655,1703]=131，将长 1703 毫米分成 131 毫米，那么长 需要切割 12 刀，将长 655 毫米分成 131 毫米，那么宽需要切割 4 刀，因此，共需要切 割 16 刀 ⑪ ⑤本题是有余数除法与最大公因数的综合考察，首先要弄清楚这里的 200、300 和 400 是除数还是被除数，审题要仔细一些。
一个自然数除 200 余 5，那么 200 去掉余数 5 就 能够整除这个自然数，也就是这个自然数是（200－5）的因数，同样也是（300－1） 的因数，是（400－10）的因数[195，299,390]=13，因此，这个自然数为 13 ⑪ 从上面这几道题目及解析过程可以看出，在小升初择校考试中，公因数与公倍数着重 考察学生的应用能力，也就是说学生不能仅仅停留在“学知”上，还要会“用知” ，而 学知与用知正是小学数学与初中数学的一个不同要求最大公因数与最小公倍数这个 知识点在学校课本上也要求掌握其简单运用的，所以我们的学生大多能够解决一般难 度的问题，但面对③④⑤题这类较灵活的问题时大多不知所措，无从下手，主要是学 生对于此类课本知识的拓展了解不够，缺乏知识迁移能力所造成的 21 小升初试题选讲（三） 22 ①一堆彩色玻璃球，二个二个一数余 1 个，三个三个一数余 1 个，五个五个一数也余 1 个，则这堆玻 ）个 【2008 年十一中试题】 23 ②城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中， 每个盒中只装一种奖牌，每个盒中装奖牌枚数依次是 3、6、9、14、18。
现在知道其中 银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的 2 倍，则有金牌（ ）枚，银牌（ ） 枚，铜牌（ ）枚 【2010 年武汉七一中学试题】 24 ③盒中原有 7 个小球，魔术师从中取出若干个小球，把每个小球都变为 7 个小球，将 其放回盒中；他又从中取出若干个小球，把每个小球都变为 7 个小球，再将其放回盒 中……；如此进行到某一时刻，当魔术师停止魔术时，盒中球的总数可能是（ ） 【2008 年武汉三初试题】 25 A、2005 B、2006 C、2007 D、2008 26 ④一筐苹果，如果每 10 个一堆剩 8 个，如果每 15 个一堆剩 13 个，如果每 17 个一堆 剩 16 个，则这筐苹果至少有（ ）个 【2008 年武汉外校试题】 27 这类题型考察的是带余除法、同余性质及中国剩余定理 试题简析： 28 ①此题较简单，被 2、3、5 除余数均为 2，首先求出（2，3,5）=30 余数为 1，表示多 1，因此 30＋1=31（个） 29 ②铜牌枚数是金牌枚数的 2 倍，那么铜牌与金牌枚数和为 3 的倍数，也就是总枚数去 掉银牌枚数应该是 3 的倍数，3＋6＋9＋14＋18=50（枚） 50÷3=16……2（枚） 30 根据同余的性质，去掉的银牌数除以 3 余数应为 2，14÷3=4……2（枚） 银牌为 14 枚， 金牌数（50－14）÷3=12 枚，铜牌数 12×2=24 枚。
31 ③此题难在学生不容易找题目的突破口，每次把每个小球都变为 7 个小球，也就是将 1 个变为 7 个，增加 6 个，说明增加的是 6 的倍数，而开始是 7 个，7÷6=1……1（个） ， 下面选项与它同余的是 2005,2005÷6=334……1，因此选 A 32 ④观察题目，每 10 个一堆剩 8 个，如果每 15 个一堆剩 13 个，则相当于 10 的倍数少 2,15 的倍数少 2 ，符合前两个条件的数可以是 30- 2=28、60－2=58、90－2=88、120－2=118……将 28、58、88、118 这些数放到第三个条件中看是否符合，118÷17=6（堆）……16（个） ，因此答案为 118 个此题还可采 用中国剩余定理解答 33 从上面几道试题可以看出，此类题目是学生的难点，学生在学校基本没有接触，属于 拓展知识、课外知识，如果没有这方面的知识积累，想让孩子在这一块得分就有点勉 为其难了因此，要想在小升初择校中考出好成绩，这些知识一定要在课外进行系统 的学习和针对性的训练 34 由于篇幅所限，数论知识中关于奇偶性、分解质因数、乘方等问题在此不一一说明 35 从以上分析中我们可以看出，数论问题确实难，难在哪里呢？一是课本上数论知识的。