单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,§,8.3,迭代法收敛定理,,8.3.1 迭代法的收敛定理,,,,雅可比迭代法,X,,(k+1),=,B,J,,X,(k,),+,f,J,,,赛德尔迭代法,X,,(k+1),=,B,S,,X,(k,),+,f,S,由此可知迭代法是通过变化等价方程组后，建立迭代格式,X,,(k+1),=,B,,X,(k),+ f,，其中,B,称为迭 代矩阵1,,定理（迭代法基本定理）,,,迭代格式,X,,(k+1),=,B,,X,(k,),+ f,产生的向量序列收敛的,充分必要,条件是,,,是迭代矩阵,B,的谱半径用迭代法基本定理判断时，常常是困难的2,,定理,8.3,,在迭代格式,X,,(k+1),=,B,,X,(k,),+ f,中，若迭代矩阵,B,对于某一种范数满足 ，则,,,1,),,对于任意的初始向量,X,,(0),,，迭代产生的向量,{,X,,(k),},序列均收敛于方程组的唯一解,X,*,,2),3,,定理 设,A,为任意,n,阶方阵，则对于任意的矩阵,,范数 有,,,定理,,,4,,由于,定理,8.3,揭示了第,k,次迭代的误差向量与相邻两次迭代近似解之差的关系。
所以在设计迭代算法时可用相邻两次迭代近似解之差 作为误差的估计值，当误差估计值小于允许误差界时，便可以停止迭代计算并输出数据结果5,,定理,8.2,,若方程组,AX,=,b,中，系数矩阵,A,是对角占优阵，即,,,,则对任意的初始向量,X,,(0),，,雅可比迭代法和赛德尔迭代法,都是收敛的6,,,,例,对于方程组,写出保证收敛的迭代格式解: 交换两方程顺序，得方程组,其系数矩阵 A= 严格对角占优，故雅可比迭代 收敛,,,7,,赛德尔迭代 收敛,8,,定理,,若方程组,AX,=,b,中，系数矩阵,A,是对称正定阵，则对任意的初始向量,X,,(0),，,赛德尔迭代法,是收敛的推论 A对称正定时，雅可比迭代法收敛的充要条件是2D-A也对称正定，SOR迭代法收敛的充要条件是,,9,,将迭代公式(8-26)改为,(8-31),按此公式迭代求解方程组(2-1)，称为,逐个超松弛迭代法,或,SOR,法。
显然,ω,=1时就是赛德尔迭代法可以证明要保证迭代收敛，必须要求0<,ω<210,,,当,1,<,ω,<2,,时该迭代公式称为,超松弛迭代法,,超松弛迭代,公式收敛的条件与赛德尔迭代收敛条件相同很多数值计算的实例表明，超松弛迭代的收敛速度比赛德尔迭代速度快在计算中对松弛因子的选取不好掌握11,,。