精品资源第二十九讲最值问题求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见 类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、 路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题， 在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1 .穷举获取；2 .运用非负数的性质；3 .利用不等分析逼近求解；4 .使用几何公理、定理、性质等.解这类问题时，既要说明最值可以达到，又要证明不可能比所求的值更大 （或更小），前者需构造一个恰当的例子，后者需要详细说理.例题【例1】 设自然数x, v, m, n满足条件x = y=m-=5 ,则x+y+m+n的最小值是y m n 8（湖北省黄冈市竞赛题）思路点拨把连等式拆开用，用一个字母的代数式表示另一个字母， 利用隐含整除条件,分别求出x, y, m, n的最小值.【例2】设a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式（a — b）2+（b —c）2+（c — a）2的最大值是（）.A. 27 B. 18 C. 15 D. 12（全国初中数学联赛题）思路点拨 利用乘法公式，把代数式变形成与已知条件关联的式子，进而求出最大值.【例3】 已知n、k均为自然数，且满足不等式 —< 6 —,若对于某一给定的自然13 n k 11数n,只有惟一的一个自然数 k使不等式成立，求所有符合要求的自然数中的最大数和最小 数.（“希望杯”邀请赛试题）思路点拨 解关于k的不等式组，利用已知条件的约束， 通过穷举求出n的最大数与最 小数.注：解含等式、不等式组成的混合组的基本思路是： 用消元法转化为只合有一个未知数的不等式（组），解不等式（组）来逼近这个未知数的值，进而解出相关问题【例4】某人租用一辆汽车由 A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为 80千米/时，而汽车每行驶 1千米需要的平均费用为 1.2元，试指出此人从 A城出发到B城的最短路线，并求出所需费 用最少为多少元？（全国初中数学竞赛题）9思路点拨 即要求出此人从 A城出发到B城的最短时间，而从A城到B城有多条线路，故 只需一一列举，比较就可得出结论.【例5】 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品方案，准备每周 （按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 360台，且冰箱至少生产 60台，已知生产这些家电产品 的所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工 时121314产值（千元）432问：每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高 ？最高产值是多少（以千元为单位）？（河南省竞赛题）思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各 x台、y台、z台，产值为s,可得到关 于x、y、z的混合方程组，通过消元，建立一元不等式组，通过解不等式组，确定相应字母 取值范围，进而求出 x的最大值.学力训练1 .多项式些x2+y2 — 6x+8y+7的最小值为 .（江苏省竞赛题）2 .在式子x +1 +|x +2 +|x + 3 +|x +4中，用不同的 x值代人，得到对应的值，在这些 对应的值中，最小的值为 .3 .如果把分数 9的分子、分母分别加上正整数 a, b结果等于—,那么a+b的最小值7 13是. （第15届江苏省竞赛题）4 .当x = 且y=时，代数式—x2 — 2y2—2x+8y — 5有最大值，这个最大值是 .5 .若a、b、c、d为整数，且 b是正整数，满足 b+c=d, c+d = a, a+b=c,那么a+b+c+d的最大值是（ ）.A. - 1 B. — 5 C.0 D. 16 .多项式5x2—4xy+4y2+12x+25的最小值为（ ）.A. 4 B. 5 C . 16 D. 25（“五羊杯”竞赛题）7,已知 红二1 -1 >x-5s3x ,求x — 1 — x + 3的最大值和最小值.3 28 .某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖 5个，二等奖l0个，三等奖15个.学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：品 名小提琴运动服笛子舞鞋口 琴相册笔记本钢笔单价（元）12080242216654（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品 ？（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的 5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需 要多少钱？（江苏泰州市试题）9 .现有某物质73吨，计划用载重量分别为 7吨和5吨的两种卡车一次运走， 且每辆车都要 装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费 65元，载重量5吨的卡车每台车运费 50元，问最 省运费是多少元？（重庆市竞赛题）10 .设m, n是非零自然数，并且 19n2- 98n—m=0,则m+n的最小值是 .（国家理科实验班招生试题）11 .设ai, a2,…，ak为k个互不相同的正整数，且a〔+a2+…+ak= 1995,那么k的最大值是 . 12. a、b、c 是非负数，并且满足 3a+2b+c= 5, 2a+b —3c=1,设 m=3a+b—7c,设 x 为 m 的最小值，y为m的最大值，则xy =.（2003年北京市竞赛题）13 .甲、乙两个粮库分别存粮 600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需 从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为 6元/吨、5元/吨；由 乙库到A、 B两市的运费分别是 9元/吨、6元/吨，则总运费最少需 元.（北京市“迎春杯”竞赛题）14 .设a、b、c、d都是整数，且a<3b, b<5c, c<7d, d<30,则a的最大可能值是 （ ）.A . 3026 B. 3029 C. 3045 D. 3150（“数学新蕾”竞赛题）15 .某种出租车的收费标准是：起步价 5元（即行驶距离不超过 3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加 0. 5千米，加收0. 9元（不足0. 5千米按0. 5千米计）.某人乘坐 这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19. 4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是（ ）千米.A. 12 B. 11 C. 10 D. 9（重庆市竞赛题）16 .把一根lm长的金属线材，截成长为23cm和13cm的两种规格，用怎样的方案截取材料 利用率最高？求出最高利用率.（利用率=实际利用材料长度 M100%,截口损耗不计） 原材料长度（江苏省竞赛题）17,已知an a?,…，a?。
的值都是+1或一1,设S是这2002个数的两两乘积之和.（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件.（“我爱数学”夏令营竞赛题 ）18 . 6盒火柴按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻 2盒必须是以完全重合的面对接，最后得到的包装形状要是一个长方体.已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是： a=46mm, b=36mm, c=16mm ,请你给出一种能使表面积最小的打包方式，并画出其示意图.19 .永强加工厂接到一批订单，为完成订单任务，需用 a米长的材料440根，b米长的材料480根，可采购到的原料有三种，一根甲种原料可截得 a米长的材料4根，6米长的材料8根，成本为60元；一根乙种原料可截得 a米长的材料6根，b米长的材料2根，成本为50 元；一根丙种原料可截得 a米长的材料4根，b米长的材料4根，成本为40元.问怎样采 购，可使材料成本最低 ？（第六届北京市数学知识应用竞赛试题 ） 画最值问黑【例题求解】例1 115?提示：工"_1_,m=[_山忖=_1_制=整3,因5|y*8iya故y有最小值2 u D D Zu例工 选A 提示；原式=职1+#+/>一脑+ &+『）,<27例3醴示咕V*得差<山<早 4<-<4① ②Id n-TR 11 b n f o n f D *因*为自然触，且对于给定的四东说」的值只有一个故 44^<2 幅 ya4 i 0当神=用时，代人②有 箱惟一•的点值为门，又由①褐n>7当邪=8,jj=g,n = lO.g・，时=12 时，有 6 件<*<6 与 J .gVT ■洲-y
城到B城所需堆短时间为建小时.故此类路鞋所需最短时间为桀+降=前小时，壮丁从4城州发利达8城，不经过门城.这时从八城到E城*必定锂过二D.E城或F.G.H城，所而忖间至少为4g小时，综上，从A城到拈B城所需的最鬼时间为4&小时.所走的路线为4--F—<）—・E -rH.所需的费用般少为8OX 4&XL-46阿元）依通意得T方 Jr+ -y+ =r= 120・f・⑵K》GO…③Sf 4k+ 3y+ 27** ④由①+②样J^Tr>=360—|-4欢迎下载代人④，整理将S=108一 3*•固随宅的修大而蔺小,故由③知当*=6时+ S.* = L05Q（千元L此时工：，-孤* y= 270.【学力训练】L -18提札原式i工一少+ 3+4）工一18 2. 4 3. 26提示：由第=得，得4 6+喑■ -f- 0 ,口 w4. -1,-2 J 提示二原式=43（土41,1乳/+2产 5. B6. C 理承，画式-（h一力产十[与寸3尸+ 1日7,提示阳不等式,树工1方，原式一t-KC.M而知最大值为4.聚小值才一34.（工
元，吨）.因此曲辱H使用7吨卡车•设7啤卡车丁辆.5睡卡车y辆,则『工+力工?3,上=7,飞’2,当*=之时,J1般大值为九此时运制为9^65 + 2X50=68j（7i；） 10, 102 提示 1川=川《19”一981@”一980II.锻 提示E不妨设川〈山0，<小，乂闲山.“明9都为正整故，可知5去1.出”，,为3则有］+2 +五毫四+h I }山+…+的■】的5,即一j—<1的5/1《氐/62另一方面.当山=1必=?.…，丽=6,山小网时.这样的切必*…，时确实椭足条件. II.捺臼，J aa元 提那r设由甲库调运j■吨16食到用市.总运诏为了,剥yk&r+6（6OO -上）十可为0 ］）+ 9< 6Q［）4-j-> = I31S00+ 2x<0 14. A 提示「议毡数 a.b,若 a 15, B1品提示：设【旧的佥属线材藏取长为之加血的级材r根，截取长为13cm的线材事根，则材科的利。