利用基本不等式求函数最值授课类型：习题课【教学目标】1 .知识与技能：进一步掌握基本不等式jab <^b ；会应用此不等式求某些函数的最值；22 .过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 /
发现 x和1- x的和为1,恰好是定值解：；*0< x< 1, 1- x> 0y = x(1-1 1当且仅当x= 1- x时，即x =一时，y有最大彳1为一.2 4变式1：当0< x< 4时，求y =x(8-2x)的最大值.(学生思考交流完成，适当辅助 )解析：由口 <工< 4知，8-2x>0 利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到 2x + (8-2x)=8为定值，故只需将y =x(8 -2x)凑上一个系数即可当2才=8—，即x = 2时取等号 当x = 2时，y =x(8—2x)的最大值为8变式2：设00 y =4x(3—2x) =2 2x(3 —2x)E22x 3 - 2x29I =—2当且仅当2x = 3 — 2x,即x =3 w9 :时等号成立4 .，2一 一 , ， 、 4 ，一〜,一，，,一，一例2：已知x> 2,求f (x)= x+ 的最小值.(凑项，学生思考，教师辅助 )x- 2解：. x>2, .-.x-2>0,- f(x) = x+ = x — 2 + + 2> 2、/(x — 2 y + 2=6,x- 2 x-2 Y x—2，一 .， 4 当且仅当x-2 = ,即x= 4时，等号成立.所以 f(x)的最小值为6.x— 24练习：已知x> 2,求f (x) = x + 2 + 的取小值.(学生独立元成)x- 2解：. x>2, .-.x-2>0,4f (x)= x+ 2+ = x x- 2^4- + 4?2. (x 2)LU4- + 4=8 x- 2 x- 2一，， 4 一 •一 . 一当且仅当x-2 = ,即x= 4时，等号成立.所以x— 2f(x)的最小值为8.2变式：已知x> 2,求f (x)=的最小值.(学生比较难想到，教师适当辅助 ) x- 2分析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x- 2)的项，再将其分离。
2x斛：f (x)= x- 2(x- 2) +4x-4 (x- 2) +4(x- 2)+4x- 2x- 2=(x-42)+ + 4x- 2x>2, - x- 2>0,f (x)? 2J(x 2)* 4=8.8.一，， 4 一 • 一 . 一 ，、一■..当且仅当x-2 = -,即x= 4时，等号成立.所以 f(x)的最小值为 x— 2心 「 x2 + 3x 一… 、，…x- 1练习：已知x> 1,求丫= -一3x求的最大值.(学生独立完成)解：x > 1, x- 1> 02 一 一 2 一 一x2 + 3x (x- 1) + 5x- 1 (x- 1) + 5(x- 1)+4 =i l = = x- 1 +x- 1x- 1x-六十5?2#x 1/ + 5=99.，…， 4 ，一 一 ,一 ,一当且仅当x- 1= 时，即x = 3时，y有最大值 x- 1备用思考：本例中的条件“ x> 2”改为“ x< 2”，求f (x)=4 ，— 一x+ 的最大值.x- 2解：. x<2, .-.2-x>0(调号，学生思考，适当辅助 ).f(x)=x+ —= - !l(2-x )+ 4^~、2W — 23 /(2-x )-4- +2=— 2.x- 2 - 2一x」 2 —x当且仅当2 —x=-即x= 0时,2- xf(x)取得最大值—2.三、课堂检测(学生独立完成)1 .已知0 V x < 2 ,求函数y = x(6- 3x)的最大值为 .此时x =4 2 .右x= (-1,y),则函数f(x) =x+ 的最小值为 . 此时x=x 1,, ,, ,、 x2 + 3 …… ,3.若x > - 1 ,则函数f (x)=x一3的最小值为 ^ 此日x =x+ 1四、课堂小结? 1.利用基本不等式求函数最值时，应注意的问题? (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断.? (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值.? (3)确保等号成立.? 以上三个条件缺一不可.可概括为“一正、二定、三相等”?［特别提醒］ 连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致.若 不能同时取等号，则不能求出最值.? 2.应用基本不等式的常用技巧获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键.常用的方法有：拆项(分离)、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中. 如 f(x)= "Mx+2L x2 + 7x+10 =(x+1f+5(x+ 上 4 x+1 x+1 x+1可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.五、拓展探究(学生独立完成，有问题可以咨询老师 )例3：若a,b是正数，且a+b=4,求ab的最值.变式1:若a,b是正数，且2a + b=4 ,求ab的最值.变式2：若a,b是正数，且1 . ,，，一一a+ -b = 4 ,求ab的最值.2变式3：若a,b是正数，且2a + 3b = 4 ,求ab的最值：和此时a,b的值.变式4:若a,b是正数，且2a + b = 2 ,求a(1+ b)的最值和此时a,b的值.六、布置作业A类作业(全班必做题)1 ，一，，…y=x+— (x> 0)的最小值为2.已知3.已知0 -1)的最小值7.求函数y1 …=x +一的值域x8*已知x>0,1 1 一y>0,且x+ 2y=1,求-+一的取小值.x y有同学给出如下解法:.X+2y=1, x>0,y>0&y ,(x+ 2y) > 2H "^=4联,11 _」+1的最小值为4J2. x y -判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法。