[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟24

[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟24[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)分类模拟24专升本高等数学(一)分类模拟24一、选择题问题:1. 在[-1，1]上满足罗尔中值定理的所有条件的函数f(x)=______ A． B．|x| C．x2-1 D．x+1 答案:C[解析] 罗尔中值定理有三个条件：(1)函数y=f(x)在[a，b]上连续；(2)在(a，b)内可导，(3)f(a)=f(b)． 对A，在x=0不连续． 对B，，即f(0)不存在． 对C，f(x)=x2-1，在[-1，1]连续；f(x)=-2x 在(-1，1)内可导；f(-1)=f(1)=0，故f(x)满足罗尔中值定理的三个条件，应选C． 对D，f(x)=x+1，f(-1)=0，f(1)=2，f(-1)≠f(1)，不满足第三个条件． 问题:2. 在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的函数，f(x)=______ A．ln(x-1) B．lnx C． D．lnlnx 答案:B[解析] 当x=1时，函数ln(x-1)无定义，ln(x-1)在[1，e]不连续，故不选A． 对B，f(x)=lnx在[1，e]连续，在(1，e)内可导，故y=lnx在[1，e]上满足拉格朗日中值定理的条件，应选B． 对C，在x=1处无意义，故在[1，e]不连续． 对D，lnlnx在x=1处无意义，故在[1，e]不连续． 问题:3. 设在[1，2]满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ＝______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 因，又a=1，b=2；f(a)=1，，故，于是但，故，应选C．问题:4. 函数的单调减少区间是______A.(-∞，-2)，(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，0)，(0，+∞)D.(-2，0)，(0，2)答案:D[解析] 由，定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，，令y=0，得x=2． 列表： x (-∞，-2) (-2，0) (0，2) (2，+∞) y y + ↗ - ↘ - ↘ + ↗ 故函数的单调减少区间是(-2，0)，(0，2)，选D． 问题:5. 设，则x=1是f(x)在[-2，2]上的______A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点答案:B[解析] f(x)=x2-1．令f(x)=0，得驻点x1=-1，x2=1．f"(x)=2x，f"(1)=2＞0，故x=1是极小值点．但，于是，x=1也是最小值点．应选B．问题:6. 设a＜x＜b，f(x)＜0，f"(x)＞0，则曲线f(x)在区间(a，b)内沿x轴正向______A.下降且上凹B.下降且下凹C.上升且上凹D.上升且下凹答案:A[解析] 当a＜x＜b时，f(x)＜0，曲线f(x)在(a，b)内沿x轴下降；由f"(x)＞0，知曲线f(x)在(a，b)内沿x轴正向上凹，故曲线f(x)在(a，b)内下降且上凹，选A．问题:7. 设f(x)＜0，f"(x)＜0，Δx＞0，Δy=f(x+Δx)-f(x)，dy=f(x)Δx，则______A.Δy＞dy＞0B.Δy＜dy＜0C.dy＞Δy＞0D.dy＜Δy＜0答案:B[解析] 由于f(x)＜0，Δx＞0，知道dy=f(z)Δx＜0，故除掉A，C． 由f(x)＜0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)是单调下降且上凸，如图所示．从中可知Δy＜dy＜0，故选B． 问题:8. 曲线______渐近线．A.仅有水平B.仅有铅直C.既有水平又有铅直D.既无水平又无铅直答案:A[解析] ，知有水平渐近线y=1，又函数y在x=0处无定义，且，知无铅直渐近线，故选A．二、解答题问题:1. 设函数在x0=1处可导，试确定常数a和b的值．答案:解 因为f(x)在x0=1处可导，所以在x0=1处连续．但 f(1)=a， 故a=1+b． 再由于f(x)在x0=1处可导，其左、右导数存在且相等，即f-(1)=f+(1)，于是 故a=2．将a=2代入a=1+b，得b=1． 利用f-(1)=f+(1)的条件也可用如下方法．用求导的方法可得 又f(1)存在，故f(1)=f-(1)=f+(1)，但 于是a=2．再利用在x=1的连续结果a=1+b，得b=1． 问题:2. 按定义求在点x=1和X处的导数．答案:解 根据导数定义求函数的导数，如果是求在一点处的导数，用求较方便；如果是求在任意一点处的导数，用较方便． 问题:3. 讨论函数f(x)=|sinx|在点x=0处的连续性与可导性．答案:解 可只考虑x在内的情形，故 由于 即f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，故f(x)在点x=0处连续．又 即f-(0)≠f+(0)，故f(x)在点x=0处不可导． 求下列函数的导数：4. y=sin3xcos5x；答案:解 y=(sin3xcos5x)=(sin3x)cos5x+sin3x(cos5x) =cos3x(3x)cos5x+sin3x(-sin5x)(5x) =3cos3xcos5x-5sin3xsin5x． 如先将y做恒等交换：，则 可将两种答案化为相等，留给读者来做． 5. y=3xex；答案:解 y=[(3e)x]=(3e)xln(3e)=(3e)x(1+ln3)．6.答案:解 若直接求导数，则 7.答案:解8.答案:解9.答案:解 在求函数的导数时，要求熟练掌握并记住基本初等函数的求导公式和掌握导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则．复合函数求导法则，既是重点又是难点，其关键在于正确分析已知的复合函数是由哪些中间变量复合而成． 求下列函数的导数：10.答案:解11. f(x)=coslnx．答案:解问题:12. 求在x=1处的导数．答案:解 故 问题:13. 设曲线y=xlnx，在该曲线上的点P(x0，y0)处的切线平行于直线y=2x，求点P(x0，y0)的坐标和切线方程．答案:解 由于点P(x0，y0)在曲线y=xlnx上，故y0=x0lnx0，y=(xlnx)=1+lnx， y|x=x0=1+lnx0． 又曲线上的点P(x0，y0)处的切线平行于直线y=2x，直线y=2x的斜率k=2，故曲线上点P(x0，y0)处的切线斜率是2，即1+lnx0=2，解得x0=e，相应地得y0=x0lnx0=elne=e，故P(x0，y0)=(e，e)，所求切线方程为 y-e=2(x-e)，即2x-y-e=0． 设f(x)可导，求：14. [f3(x)]；答案:解 [f3(x)]=3f2(x)，f(x)；15. [f(x3)]；答案:解 [f(x3)]=3x2f(x3)；16.答案:解17. [-lnf(x3)]．答案:解问题:18. 求由方程xy=ex+y，确定的函数y(x)的导数．答案:解1 两端对x求导，注意y是x的函数，则 y+xyx=ex+y(1+yx)， 化简得 解2 利用微分形式不变性，得 ydx+xdy=ex+y(dx+dy)， 化简即得 解3 设F(x，y)=xy-ex+y≡0，得，其中Fx(x，y)和Fy(x，y)分别表示F(x，y)对x和y的偏导数． 把y看作常数，对x求导，得Fx(x，y)=y-ex+y，把x看作常数，对y求导，得Fy(x，y)=x-ex+y， 故 解4 利用对数求导法，两端取对数，得 ln|x|+ln|y|=x+y(因x与y同号，此处取绝对值)， 两端对x求导，得 整理得 问题:19. 求由方程xy=yx确定的函数x(y)的导数．答案:解 两端取对数，得 ylnx=xlny， 注意x是y的函数，两端对y求导，得 整理得 若对方程取对数后两端求微分，得 则 对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数，用对数求导法常常比较方便．对于幂指函数y=u(x)v(x)(u(x)＞0)，可以利用指数函数与对数函数的关系，将其化为 y=ev(x)lnu(x)． 再利用复合函数求导法则求导，得 问题:20. 求星形线在处的法线方程．答案:解 当时， 切线斜率，法线斜率，故法线方程为 ，即y=x． 问题:21. 在曲线y=4-x2(x≥0)上求一点P，使过P点的切线在两个坐标轴上的截距相等．答案:解1 因为过P点的切线在两个坐标轴上的截距相等，故设在P点的切线方程为 其中a为截距，即y=-x+a，于是，过P点的切线斜率是-1．又曲线y=4-x2的斜率是y=-2x，故-2x=-1，解得，将其代入y=4-x2，得．因此，P点坐标是 解2 设切点P的坐标是(x0，y0)，曲线y=4-x2。

在P点的斜率为y|x=x0=-2x|x=x0=-2x0，故过P点的切线方程是 y-y0=-2x0(x-x0)， 即y=y0-2x0(x-x0)=4-x02-2x0(x-x0)． 令y=0，得切线在x轴上的截距；令x=0，得切线在y轴上的截距y=4+x02． 由于截距相等，故 解出，即 问题:22. 设，求答案:解 将参数方程化为x2+y2=a2后求导，留给读者． 求下列函数的微分：23. y=xlnx+sin(x2)；答案:解 求微分有两种方法：运用微分定义dy=f(x)dx，求出f(x)后代入即得；或利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分． 因为y=lnx+1+2xcosx2，故dy=(1+lnx+2xcosx2)dx． 或dy=d(xlnx+sinx2)=d(xlnx)+d(sinx2) =lnxdx+xd(lnx)+cosx2d(x2) 。