专题32 动量与能量的综合应用一、两物体的碰撞问题两物体发生正碰（m1，v1；m2，v2→m1，v3；m2，v4），总能量损失ΔE动量守恒：m1v1+m2v2=m1v3+m2v4，能量守恒：+=++ΔE规定总动量p=m1v1+m2v2，几何平均质量m=，总质量M=m1+m2可得v3=，v4=1．若ΔE=0，损失能量最小当m1=m2=m时，可得v3=v2，v4=v1（另解v3=v1，v4=v2舍去），即发生速度交换故ΔE=0的碰撞称为弹性碰撞，ΔE>0的碰撞称为非弹性碰撞2．若ΔE尽量大，取最大值时，有此时可得v3=v4=，碰后两物体共同运动故ΔE最大的碰撞称为完全非弹性碰撞二、弹簧连接体的“碰撞”光滑水平面上，若将轻弹簧连接体系统的动能损失（等于弹簧的弹性势能）视为一般碰撞问题中的ΔE，则弹簧连接体的运动可视为碰撞模型1．弹簧处于原长状态时，可视为弹性碰撞2．弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧弹性势能最大，即动能损失最大，对应完全非弹性碰撞在规定了正方向的情况下，求出的两组速度解分别对应弹簧最短和最长的情况3．弹簧连接体问题一般会得到两组速度解，且均有实际物理意义，故需要联系具体情况保留或舍去。
三、水平方向的动量守恒动量为矢量，故动量守恒定律也具备矢量性；系统在某一方向上受力平衡，则在该方向上的分动量之和不变；一般系统在竖直方向始终受到重力作用，故只在水平方向动量守恒四、核反应过程：粒子系统的动量守恒；能量变化ΔE=Δmc2（Δm为质量亏损，c为真空光速）甲、乙两球在光滑的水平面上沿同一方向运动，它们的动量大小分别为p1=10 kg·m/s，p2=14 kg·m/s，已知甲的速度大于乙的速度，当甲追上乙发生正碰后，乙球的动量大小变为20 kg·m/s，则甲、乙两球的质量之比可能为A．3:10 B．1:10C．1:4 D．1:6【参考答案】AC【详细解析】碰撞前甲球速度大于乙球速度，则有>，可得<；根据动量守恒有p1+p2=p′1+p′2，解得p′1=4 kg·m/s，碰撞后甲、乙两球同向运动，甲球速度小于乙球速度，则有<，可得>；根据碰撞过程总动能不增加，由Ek==，有+≥+，可得≤故<≤，选AC解题必备】解本题时需要考虑两物体发生碰撞的各种条件：（1）碰撞前提：碰撞前，两物体相向运动，或同向运动时速度大的在后、速度小的在前。
2）碰撞结果：沿总动量方向，碰撞后，两物体速度反向，或前面物体的速度大于后面的物体3）动量守恒：碰前总动量等于碰后总动量4）能量守恒：动能不增加，碰后总动能不大于碰前总动能学/1．在光滑水平面上，一质量为m，速度大小为v的A球与质量为2m静止的B球碰撞后，A球的速度方向与碰撞前相反则碰撞后B球的速度大小是A．0.2v B．0.3vC．0.4v D．0.6v【答案】D如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于光滑的水平面上一颗子弹水平射入木块并留在其中在子弹打中木块A及弹簧被压缩的整个过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是A．动量、机械能都守恒B．动量守恒、机械能不守恒C．动量不守恒、机械能守恒D．动量、机械能都不守恒【参考答案】B【详细解析】在子弹打击木块A及弹簧压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，系统所受的外力之和为零，则系统的动量守恒，在此过程中，除弹簧弹力做功外，子弹和木块间的摩擦力做功，所以系统机械能不守恒，选B名师点睛】在弹簧连接体系统中，弹簧弹力是内力，对连接的两物体的弹力大小相等、方向相反，故对系统的总冲量是零。
但弹簧弹力对连接的两物体的做功位移不相等（否则没有弹力变化），故弹力对系统的总功使系统动能变化，与弹簧的弹性势能相互转化，系统机械能仍守恒1．如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是A．撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒B．撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒C．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为D．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E【答案】BC2．如图所示，光滑水平地面上静置着由弹簧相连的木块A和B，开始时弹簧处于原长状态，现给A一个向右的瞬时冲量，让A开始以速度v向右运动，若mA>mB，则A．当弹簧压缩到最短时，B的速度达到最大B．当弹簧再次恢复原长时，A的速度一定向右C．当弹簧再次恢复原长时，A的速度一定小于B的速度D．当弹簧再次恢复原长时，A的速度可能大于B的速度【答案】BC【解析】A开始压缩弹簧时做减速运动，B做加速运动，当两者速度相等时，弹簧压缩到最短，然后B继续做加速运动，A继续做减速运动，所以弹簧压缩到最短时，B的速度未达到最大，A错误；弹簧压缩到最短时，两者速度相等，然后B继续加速，A继续减速，B的速度大于A的速度，弹簧伸长，弹簧恢复原长时，B的加速度为零，速度达到最大，根据动量守恒有mAv=mAvA+mBvB，若A的速度方向向左，vA<0，则mAv 如图所示，在光滑的水平面上放有一物体M，物体上有一光滑的半圆弧轨道，轨道半径为R，最低点为C，两端A、B等高，现让小滑块m从A点由静止下滑，在此后的过程中A．M和m组成的系统机械能守恒，动量守恒B．M和m组成的系统机械能守恒，动量不守恒C．m从A到C的过程中M向左运动，m从C到B的过程中M向右运动D．m从A到B的过程中，M运动的位移为【参考答案】B【详细解析】M和m组成的系统机械能守恒，总动量不守恒，但水平方向动量守恒，A错误，B正确；m从A到C过程中，M向左加速运动，当m到达C处时，M向左速度最大，m从C到B过程中，M向左减速运动，C错误；m从A到B过程中，有MxM=mxm，xM+xm=2R，得，D错误思维拓展】本题中，m从A到B过程，水平方向动量守恒，m和M的水平分速度始终与质量成反比，m到C点时，速度水平，m和M的总动能等于m重力势能的减少量，故可求出此时m和M的速度；m到B点时，重力势能与初始时相等，故动能为零，由运动的对称性也可得出此结论；之后m开始从B到A运动，m回到A点时，总位移为零，理想情况，系统将循环运动下去另外，通过质量–速度–水平位移的关系可知，系统重心的水平位置始终不变。 1．光滑水平面上放着一质量为M的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动1）若槽固定不动，求小球上升的高度（槽足够高）2）若槽不固定，则小球上升多高？【答案】（1） （2） （2）槽不固定时，设球上升的最大高度为，球上升到最大高度时的速度为v全过程系统水平方向动量守恒，球上升到最高点时，竖直分速度为零，水平分速度与槽的速度相等由动量守恒有由机械能守恒有联立解得已知氘核（）质量为2.013 6 u，中子（）质量为1.008 7 u，氦核（）质量为3.015 0u ，1 u相当于931.5 MeV1）写出两个氘核聚变成的核反应方程2）计算上述核反应中释放的核能（保留三位有效数字）3）若两个氘核以相同的动能0.35 MeV做对心碰撞即可发生上述反应，且释放的核能全部转化为机械能，则反应后生成的氦核（）和中子（）的动能各是多少？【参考答案】（1） （2）3.26 MeV （3）0.99 MeV，2.97 MeV【详细解析】（1）由质量数守恒和核电荷数守恒，写出核反应方程为（2）反应过程中质量减少了Δm=2×2.013 6 u–1.008 7 u–3.015 0 u=0.003 5 u反应过程中释放的核能ΔE=0.003 5×931.5 MeV=3.26 MeV（3）设和的动量分别为p1和p2，由动量守恒有p1+p2=0由动能和动量的关系可得，和的动能关系为由能量守恒有E1+E2=ΔE+2×0.35 MeV可得E1=0.99 MeV，E2=2.97 MeV【名师点睛】动量守恒定律是普适的，在微观情况下的核反应过程仍然成立，但此时的能量守恒则要考虑质量亏损，常用到爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2和动能–动量的关系。 1．在核反应堆里，用石墨作减速剂，使铀核裂变所产生的快中子通过与碳核不断地碰撞而被减速假设中子与碳核发生的是弹性正碰，且碰撞前碳核是静止的已知碳核的质量近似为中子质量的12倍，中子原来的动能为E0，试求：经过一次碰撞后中子的动能变为多少？【答案】1．如图所示，质量为的楔形物块上有圆弧轨道，圆弧对应的圆心角小于90°且足够长，物块静止在光滑水平面上质量为的小球以速度向物块运动，不计一切摩擦则以下说法正确的是A．小球能上升的最大高度B．小球上升过程中，小球机械能守恒C．小球最终静止在水平面上D．楔形物块最终的速度为2．如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B连接，并静止在光滑的水平面上现使B瞬间获得一水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，则A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于伸长状态B．t3~t4时间内弹簧由压缩状态恢复到原长C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2D．在t2时刻两物块的动能之比为Ek1:Ek2=8:13．质量为mA的A球以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰。 假设B球的质量mB可选取为不同的值，则A．当mB=mA时，碰后B球的速度最大B．当mB=mA时，碰后B球的动能最大C．在保持mB>mA的条件下，mB越小，碰后B球的速度越大D．在保持mB 1）通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，并求当小物块再次回到B点时。
如图所示，在光滑的水平面上放有一物体M，物体上有一光滑的半圆弧轨道，轨道半径为R，最低点为C，两端A、B等高，现让小滑块m从A点由静止下滑，在此后的过程中A．M和m组成的系统机械能守恒，动量守恒B．M和m组成的系统机械能守恒，动量不守恒C．m从A到C的过程中M向左运动，m从C到B的过程中M向右运动D．m从A到B的过程中，M运动的位移为【参考答案】B【详细解析】M和m组成的系统机械能守恒，总动量不守恒，但水平方向动量守恒，A错误，B正确；m从A到C过程中，M向左加速运动，当m到达C处时，M向左速度最大，m从C到B过程中，M向左减速运动，C错误；m从A到B过程中，有MxM=mxm，xM+xm=2R，得，D错误思维拓展】本题中，m从A到B过程，水平方向动量守恒，m和M的水平分速度始终与质量成反比，m到C点时，速度水平，m和M的总动能等于m重力势能的减少量，故可求出此时m和M的速度；m到B点时，重力势能与初始时相等，故动能为零，由运动的对称性也可得出此结论；之后m开始从B到A运动，m回到A点时，总位移为零，理想情况，系统将循环运动下去另外，通过质量–速度–水平位移的关系可知，系统重心的水平位置始终不变。
1．光滑水平面上放着一质量为M的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动1）若槽固定不动，求小球上升的高度（槽足够高）2）若槽不固定，则小球上升多高？【答案】（1） （2） （2）槽不固定时，设球上升的最大高度为，球上升到最大高度时的速度为v全过程系统水平方向动量守恒，球上升到最高点时，竖直分速度为零，水平分速度与槽的速度相等由动量守恒有由机械能守恒有联立解得已知氘核（）质量为2.013 6 u，中子（）质量为1.008 7 u，氦核（）质量为3.015 0u ，1 u相当于931.5 MeV1）写出两个氘核聚变成的核反应方程2）计算上述核反应中释放的核能（保留三位有效数字）3）若两个氘核以相同的动能0.35 MeV做对心碰撞即可发生上述反应，且释放的核能全部转化为机械能，则反应后生成的氦核（）和中子（）的动能各是多少？【参考答案】（1） （2）3.26 MeV （3）0.99 MeV，2.97 MeV【详细解析】（1）由质量数守恒和核电荷数守恒，写出核反应方程为（2）反应过程中质量减少了Δm=2×2.013 6 u–1.008 7 u–3.015 0 u=0.003 5 u反应过程中释放的核能ΔE=0.003 5×931.5 MeV=3.26 MeV（3）设和的动量分别为p1和p2，由动量守恒有p1+p2=0由动能和动量的关系可得，和的动能关系为由能量守恒有E1+E2=ΔE+2×0.35 MeV可得E1=0.99 MeV，E2=2.97 MeV【名师点睛】动量守恒定律是普适的，在微观情况下的核反应过程仍然成立，但此时的能量守恒则要考虑质量亏损，常用到爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2和动能–动量的关系。
1．在核反应堆里，用石墨作减速剂，使铀核裂变所产生的快中子通过与碳核不断地碰撞而被减速假设中子与碳核发生的是弹性正碰，且碰撞前碳核是静止的已知碳核的质量近似为中子质量的12倍，中子原来的动能为E0，试求：经过一次碰撞后中子的动能变为多少？【答案】1．如图所示，质量为的楔形物块上有圆弧轨道，圆弧对应的圆心角小于90°且足够长，物块静止在光滑水平面上质量为的小球以速度向物块运动，不计一切摩擦则以下说法正确的是A．小球能上升的最大高度B．小球上升过程中，小球机械能守恒C．小球最终静止在水平面上D．楔形物块最终的速度为2．如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B连接，并静止在光滑的水平面上现使B瞬间获得一水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，则A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于伸长状态B．t3~t4时间内弹簧由压缩状态恢复到原长C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2D．在t2时刻两物块的动能之比为Ek1:Ek2=8:13．质量为mA的A球以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰。
假设B球的质量mB可选取为不同的值，则A．当mB=mA时，碰后B球的速度最大B．当mB=mA时，碰后B球的动能最大C．在保持mB>mA的条件下，mB越小，碰后B球的速度越大D．在保持mB 1）通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，并求当小物块再次回到B点时。
1）通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，并求当小物块再次回到B点时。
