学而思小学奥数知识点梳理学而思教材编写组 侍春雷前言前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概 括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹 克》 、中国少年报社主编的《华杯赛教材》 、 《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列 教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块 体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题） ，原则上简明扼要，努力刻画小学奥数 知识的主树干概述一、一、计算计算1．．四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简2．．简便计算简便计算⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数形如： 3．．估算估算求某式的整数部分：扩缩法4．．比较大小比较大小①通分 a.通分母 b.通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若 ，则 c>b>a.。
形如： ，则 5．．定义新运算定义新运算6．．特殊数列求和特殊数列求和运用相关公式：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、二、数论数论1．．奇偶性问题奇偶性问题奇 奇=偶 奇×奇=奇 奇 偶=奇 奇×偶=偶 偶 偶=偶 偶×偶=偶2．．位值原则位值原则形如： =100a+10b+c3．．数的整除特征：数的整除特征：整除数特 征 2末尾是 0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是 3 的倍数 5末尾是 0 或 5 9各数位上数字的和是 9 的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是 11 的倍数 4 和 25末两位数是 4（或 25）的倍数 8 和 125 末三位数是 8（或 125）的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是 7（或 11 或 13）的倍数4．．整除性质整除性质①如果 c|a、c|b，那么 c|(a b) ②如果 bc|a，那么 b|a，c|a。
③如果 b|a，c|a，且（b,c）=1,那么 bc|a ④如果 c|b,b|a,那么 c|a.⑤a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除5．．带余除法带余除法一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数 q 和 r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除 当 r≠0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简 称为商） 用带余数除式又可以表示为 a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r6. 唯一分解定理唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×.×pk 7. 约数个数与约数和定理约数个数与约数和定理设自然数 n 的质因子分解式如 n= p1 × p2 ×.×pk 那么：n 的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1) n 的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ） （1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）8. 同余定理同余定理① 同余定义：若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余， 用式子表示为 a≡b(mod m) ②若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 c 整除。
③两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和 ④两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差 ⑤两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积9．完全平方数性质．完全平方数性质①平方差： A -B =（A+B） （A-B） ，其中我们还得注意 A+B， A-B 同奇偶性 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数约数个数为 3 的是质数的平方 ③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数 ④平方和10．孙子定理（中国剩余定理）．孙子定理（中国剩余定理）11．辗转相除法．辗转相除法12．数论解题的常用方法：．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、三、几何图形几何图形1．．平面图形平面图形⑴⑴多边形的内角和多边形的内角和N 边形的内角和=(N-2)×180°⑵⑵等积变形（位移、割补）等积变形（位移、割补）①三角形内等底等高的三角形 ②平行线内等底等高的三角形 ③公共部分的传递性 ④极值原理（变与不变）⑶⑶三角形面积与底的正比关系三角形面积与底的正比关系S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者 S1×S3=S2×S4⑷⑷相似三角形性质（份数、比例）相似三角形性质（份数、比例）① ; S1︰S2=a2︰A2②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2⑸⑸燕尾定理燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC； S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC； S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；⑹⑹差不变原理差不变原理知 5-2=3，则圆点比方点多 3。
⑺⑺隐含条件的等价代换隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系⑻⑻组合图形的思考方法组合图形的思考方法①化整为零 ②先补后去 ③正反结合2．．立体图形立体图形⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积 整体观照法 ⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水 ⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题 ⑸染色问题几面染色的块数与“芯” 、棱长、顶点、面数的关系四、四、典型应用题典型应用题1．．植树问题植树问题①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系2．．方阵问题方阵问题外层边长数-2=内层边长数 （外层边长数-1）×4=外周长数 外层边长数 2-中空边长数 2=实面积数3．．列车过桥问题列车过桥问题①车长+桥长=速度×时间②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间 ③车长甲+车长乙=速度差×追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间 车长=速度差×追及时间4．．年龄问题年龄问题差不变原理5．．鸡兔同笼鸡兔同笼假设法的解题思想6．．牛吃草问题牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7．．平均数问题平均数问题8．．盈亏问题盈亏问题分析差量关系9．．和差问题和差问题10．． 和倍问题和倍问题11．． 差倍问题差倍问题12．． 逆推问题逆推问题还原法，从结果入手13．． 代换问题代换问题列表消元法等价条件代换五、五、行程问题行程问题1．．相遇问题相遇问题路程和=速度和×相遇时间2．．追及问题追及问题路程差=速度差×追及时间3．．流水行船流水行船顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷24．．多次相遇多次相遇线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1 环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数 其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5．．环形跑道环形跑道6．．行程问题中正反比例关系的应用行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比 时间一定，路程和速度成正比7．．钟面上的追及问题钟面上的追及问题① 时针和分针成直线；②时针和分针成直角8．．结合分数、工程、和差问题的一些类型结合分数、工程、和差问题的一些类型9．．行程问题时常运用行程问题时常运用““时光倒流时光倒流””和和““假定看成假定看成””的思的思考方法六、六、计数问题计数问题1．．加法原理：分类枚举加法原理：分类枚举2．．乘法原理：排列组合乘法原理：排列组合3．．容斥原理：容斥原理：①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC ②常用：总数量=A+B-AB4．．抽屉原理：抽屉原理：至多至少问题5．．握手问题握手问题在图形计数中应用广泛 ①角、线段、三角形， ②长方形、梯形、平行四边形 ③正方形七、七、分数问题分数问题1．．量率对应量率对应2．．以不变量为以不变量为““1””3．．利润问题利润问题4．．浓度问题浓度问题倒三角原理 例： 5．．工程问题工程问题① 合作问题 ②水池进出水问题6．．按比例分配按比例分配八、八、方程解题方程解题1．．等量关系等量关系① 相关联量的表示法 例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3x 100-x 3x x ②解方程技巧恒等变形2．．二元一次方程组的求解二元一次方程组的求解代入法、消元法3．．不定方程的分析求解不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4．．不等方程的分析求解不等方程的分析求解九、九、找规律找规律⑴⑴周期性问题周期性问题①年月日、星期几问题 ②余数的应用⑵⑵数列问题数列问题①等差数列 通项公式 an=a1+(n-1)d 求项数： n= 求和： S= ②等比数列 求和： S= ③裴波那契数列⑶⑶策略问题策略问题①抢报 30 ②放硬币⑷⑷最值问题最值问题①最短线路a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 ②最优化问题 a.统筹方法 b.烙饼问题十、十、算式谜算式谜1． 填充型 2． 替代型 3． 填运算符号 4． 横式变竖式 5． 结合数论知识点十一、十一、数阵问题数阵问题1．．相等和值问题相等和值问题2．．数列分组数列分组⑴知行列数，求某数 ⑵知某数，求行列数3．．幻方幻方⑴奇阶幻方问题： 杨辉法 罗伯法 ⑵偶阶幻方问题： 双偶阶：对称交换法 单偶阶：同心方阵法十二、十二、二进制二进制1．．二进制计数法二进制计数法①二进制位值原则 ②二进制数与十进制数的互相转化 ③二进制的运算2．．其它进制（十六进制）其它进制（十六进制）十三、十三、一笔画一笔画1．．一笔画定理：一笔画定理：⑴一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点； ⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；2．．哈密尔顿圈与哈密尔顿链哈密尔顿圈与哈密尔顿链3．．多笔画定理多笔画定理笔画数= 十四、十四、逻辑推理逻辑推理1． 等价条件的转换 2． 列表法 3． 对阵图 竞赛问题，涉及体育比赛常识十五、十五、火柴棒问题火柴棒问题1． 移动火柴棒改变图形个数 2． 移动火柴棒改变算式，使之成立十六、十六、智力问题智力问题1． 突破思维定势 2． 某些特殊情境问题十七、十七、解题方法解题方法（结合杂题的处理） 1． 代换法 2． 消元法 3． 倒推法 4． 假设法 5． 反证法 6． 极值法 7． 设数法 8． 整体法 9． 画图法 10．列表法 11．排除法 12．染色法 13．构造法 14．配对法 15．列方程⑴方程⑵不定方程⑶不等方程另外补充说明： 在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格， 几何，数论等，属于综合性问题。