第十一章 三角形一、单选题1．下列线段能构成三角形的是（ ）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，62．已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（ ）A．17 B．17或22 C．22 D．163．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（ ）A． B． C． D．4．如图，AD是△ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）A.18 B.24 C.48 D.365．如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（ ）A． B． C． D．6．下列说法中错误的是（ ）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条角平分线都在三角形的内部D．三角形三条高都在三角形的内部7．下列图中不具有稳定性的是( )A． B．C． D．8．在△ABC中，∠A=80°，BD，CE分别平分∠ABC，∠AC，BD，CE相交于点O，则∠BOC等于（ ）A．140° B．100° C．50° D．130°9．如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（ ）A．∠α+∠β﹣∠γ B．∠α+∠β+∠γ C．∠β+∠γ﹣∠α D．∠α﹣∠β+∠γ10．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形11．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为（ ）A. B. C.或 D.或或12．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )A. B. C. D.二、填空题13．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的取值范围_______.14．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1=______；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2 =______；依此规律得∠An，则∠An =______.15．若某多边形有5条对角线，则该多边形内角和为_____．16．如图，分别以四边形ABCD(边长均大于4)的四个顶点为圆心，2为半径画圆，则图中四个阴影部分的面积之和是________．三、解答题17．如图所示，已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线．（1）作出△ABD 的边 BD 上的高．（2）若△ABC 的面积为 10，求△ADC 的面积．（3）若△ABD 的面积为 6，且 BD 边上的高为 3，求 BC 的长．18．一个等腰三角形的周长是28cm．（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．19．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，P是BC上任一点，PE⊥AD，求证：∠P=(∠ACB-∠B).20．在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．图(1)中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E=∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____.图(2)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于______.图(3)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于________.图(4)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于________.21．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ．迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC=100°，则∠ACB的度数 ．②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ．答案1．B2．C3．B4．C5．C6．D7．B8．D9．A10．D11．D12．B13．设第三边为c ，14．32° 16° 15．540°．16．4π17.（1）如图所示：（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，∴△ADC的面积=12△ABC的面积=5．（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12．∵BD边上的高为3，∴BC=12×2÷3=8．18.（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，x+3x+3x＝28，解得：x＝4，所以3x＝12（cm），故，该等腰三角形的各边长为：4cm，12cm，12cm；（2）若底边长为6cm，设腰长为ycm，则：6+2y＝28，得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，若腰长为6cm，设底边长为acm，则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．19.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵EP⊥AD，∴∠DEP＝90°，∴∠P＝90°−∠ADP＝90°−（∠B＋∠BAC）＝90°−∠B−∠BAC，∵∠BAC＝180°−（∠B＋∠ACB）∴∠BAC＝90°−（∠B＋∠ACB），∴∠P＝90°−∠B−90°＋∠B＋∠ACB＝（∠ACB−∠B）．20．解：图（1）中，连接CD，∵∠B+∠E=∠ECD+∠BDC，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACD+∠ADC=180°；图（2）中，连接CE，则∠A＋∠B＝∠AEC＋∠BCE，∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠DEA＝∠D+∠DCE+∠DEC＝180°；图（3）中，连接AB，则∠E＋∠D＝∠DAB+∠EBA，∴∠CAD+∠CBE+∠C+∠D+∠E＝∠C+∠CAB+∠CBA＝180°；图（4）中，∠A＋∠B＝∠HGI＋∠HIG，∠C＋∠D＝∠IHG+∠IGH，∠E＋∠F＝∠GHI+∠GIH，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠HGI＋∠HIG+∠IHG+∠IGH+∠GHI+∠GIH＝2（∠HGI+∠HIG+∠IHG）＝360°.故答案为：180°；180°；180°；360°．21．(1)如图，连接AP并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BPF=∠BAP+∠B，∠CPF=∠C+∠CAP，又∵∠BPC=∠BPF+∠CPF，∠BAC=∠BAP+∠CAP，∴∠BPC=∠A+∠B+∠C；(2)①结论：∠BPC=90°+∠A．理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A；迁移运用：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，∵∠P=100°，∴x+y=80°，∴2x+2y=160°，∴∠OBC=180°-160°=20°，∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=40°，∵∠A=80°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°；故答案为：∠BPC=90°+∠A，60°；②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°，∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠P，在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°，∴∠A+∠D-∠P-∠P=0，∴2∠BPC=∠BDC+∠A．故答案为：2∠BPC=∠BDC+∠A。
