第11讲 高阶导数与参变量函数的导数授课题目高阶导数与参变量函数的导数教学内容1. 参变量函数的导数的求导法则；2. 高阶导数概念及计算； 3. 求高阶导数的莱布尼茨公式．教学目的和规定通过本次课的教学，使学生能纯熟掌握参变量函数的求导法则；掌握高阶导数的定义，可以计算某些函数的高阶导数，掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式，高阶导数的莱布尼茨公式.教学重点及难点教学重点：高阶导数的概念，参变量函数的二阶导数；教学难点：高阶导数的莱布尼茨公式.教学措施及教材解决提示(1) 通过足量习题使学生理解和掌握参变量函数的求导法则． (2) 本讲的重点是高阶导数的概念和计算，规定学生纯熟掌握可采用教师一边讲学生一边练习的授课措施．(3) 此讲的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别，可规定较好学生掌握求参变量函数的二阶导数.作业布置作业内容：教材 :2，3（3,4）5(3,4),6,9.讲授内容一、参变量函数的导数平面曲线C一般的体现形式是参变量方程 （ ） 表达，设相应曲线上的点，如果在点有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设在点可导，且．若相应上的点 (图5—5)，割线的斜率 .于是曲线在点的切线斜率是.其中为切线与轴正向的夹角． 若具有反函数，那么它与构成一种复合函数 这时只要函数可导， (因而当时，也有和)，就可由复合函数和反函数的求导法则得到 例1 试求由上半椭圆的参量方程 所拟定的函数的导数． 解：按公式(2)求得 二、高阶导数 设物体的运动方程为，则物体的运动速度为，而速度在时刻的变化率 就是运动物体在时刻的加速度．因此，加速度是速度函数的导数，也就是路程的导函数的导数，这就产生了高阶导数的概念． 定义1 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即. 若在区间上每一点都二阶可导，则得到一种定义在上的二阶导函数，记作． 一般地，可由的阶导函数定义的阶导函数(或简称阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数在点处的阶导数记作 相应地，.这里亦写作为它是对相继进行次求导运算“”的成果．例1 求幂函数 (为正整数)的各阶导数解：由幂函数的求导公式得，, 例2 求和的各阶导数． 解：对于，由三角函数的求导公式得．为了得到一般阶导数公式，可将上述导数改写为一般地，可推得 类似地有例3 求的各阶导数．解：由于，因此一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数．容易看出： 对于乘法求导法则较为复杂某些．设，则如此下去，读者不难看到，计算成果与二项式展开式极为相似，用数学归纳法，可得 其中．这个公式称为莱布尼茨公式． 例4 设，求．解：令，． ，应用莱布尼茨公式()得： ̣.例5 研究函数的高阶导数． 解：当时，； 当时，当时，由左右导数定义不难求得而当时,不存在，整顿后得 当时不存在. 设在上都是二阶可导,则由参量方程所拟定的函数的一阶导数,它的参量方程是.因此得例6 试求由摆线参量方程所拟定的函数的二阶导数． 解：由公式得..。