几何课程教改展望北京师范大学数学系王申怀第一节 几何课程改革的历史回顾欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么？长期以来这是一个有争议的问题特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功的经验我们可以从中获得教益，并且对哪些尚未明确的有关问题，我们也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础一）"新数运动"对传统几何教学的冲击与国际数学教育会议（ICMI）对几何教学的反思"新数运动"对几何课程改革的影响"新数运动"的出现，除了社会政治原因外，另一个重要的原因是来自数学学科本身和数学教育研究的发展二十一世纪以来数学学科得到突飞猛进的发展，特别法国布尔巴基（Bourbaki）学派的出现，对数学的整体结构进行重新认识，许多新的数学分枝，如拓朴学，泛函分析等的出现并进入大学的课程，导致了大学数学课程内容的全面改观，这就必然会形成传统中学数学与大学数学之间逐渐产生了一条很深的鸿沟。
与此同时，在五、六十年代现代心理学认知理论的兴起、特别是皮亚杰（J.Piaget）、布鲁纳（J.S.Brumer）等教育心理学家对有关学习理论研究的重大突破，提出一整套新的认知理论，为数学教材内容安排和教学方法的改进提供了坚实的理论依据，这就为"新数运动"提供了一个教育学、心理学方面的基础，终于在五十年代末到七十年代初，在西方国家中掀起了一场轰轰烈烈的"新数运动"1958年，在美国数学协会（MAA），全美数学教师联系会（NCTM）的支持和政府、基金会的资助下成立了"学校数学研究组（SMSG）全面负责中学数学教学的实验研究同时，组织专家、学者、教师对中学数学教材进行重新编写出版了一套全新的教材--"统一的现代数学"（DICSM），并在相当大的范围内开展实验，这就是所谓"新数运动"的开端六十年代以后，它几乎波及了所有西方国家世界各地相继出现了大量的新课本，新课程至此，在西方国家中，"新数运动"达到了高潮"新数运动"来势凶猛，但是由于实验不够，教师培训跟不上，过于急速推广等原因使这场运动带来了盲目性和理想化到了六十年代末和七十年代初，就逐渐暴露出改革中的问题，表现在中学基础教学质量的大幅度下降，如学生计算能力的削弱、数学应用能力缺乏。
因此，"新数运动"遭到了教师、家长及一些数学教育工作者的猛烈的批评，于是1973年在美国又出现了一个"回到基础"（Back to Basics）的教学口号重新强调学生用纸和笔来计算"新数运动"对数学教育改革最突出之点是在对传统几何课程的改革最有典型意义的例子是法国布尔巴基学派的主要成员之一，狄奥东尼（J.A.Dieadonne）1959年在法国莱雅蒙成（Royaumont），由欧洲经济共同体成员参加的会议（OEEC）上所作的演讲，充分体现了"新数运动"对传统几何课程的看法，下面我们摘录演讲一部分如下：（见《数学课程发展》杰豪森等著，陈应枢译，人民教育出版社，1991年版P86-89）《近50年来，数学家们不仅引入新的概念，而且引入新的语言，一种根据数学研究的需要，由经验产生的语言，这种语言能简明精确地表达数学，这种功能被反复检验，并已赢得普遍的认可但是直到现在，中学里还顽固地反对介绍这种新术语（至少法国如此），他们坚持使用那种过时的不适用的语言因而当学生进入大学时，他们可能从未听到过如集合、映射、群、向量空间等这样的普通数学词汇，当他接触到高等数学时感到困惑、沮丧也就毫不奇怪了近来在中学的后2年或3年已经介绍了一些初等微积分、向量代数和一点解析几何知识，但这些课题常常被置于次要地位，兴趣中心仍和以前一样，保持在"或多或少地按照欧几里德方式纯粹几何，再加上一点代数和数论"。
我认为，拼拼凑凑的时代已经过去，我们的使命是进行一次深刻得多的改革--除非我们甘愿使状况恶化到严重妨碍科学进一步发展的地步，如果把我思想中的全部规划总结成一句口号的话，那就是：欧几里德滚出去！这些话可能使你们中的某些人受到震动，但我愿意详细地告诉你们一些充足的论据，以支持这些论述，……这个结论也许有点耸人听闻，为了论证，我们假是某人要向一个来自另外世界的思想成熟的人教授平面欧氏几何，此人从未听说过欧氏几何，或者只是见到过它现代研究中的应用那么，我想整个课程只需二三个小时就能解决问题--其中一个小时用来叙述公理体系，一个小时讲那些有用的结论，第三个小时拿做少量有趣味的练习……我所说的有用的结论，一方面是指二维线性代数（线性相关、基、直线、变换群和位似映射、平行线、线性映射、线性型和线性方程），这些只由公理体系（A）（二维实线性空间公理）得出：组成了所谓的平面仿射几何另一方面是指正交性、圆、旋转、对称、角及等距群，这些则来源于公理体系（B）（内积空间）当然，由此观点看，"纯"几何与"解析"几何之间古老的争论就变得没有意义了，他们都只是向量语言的翻版而已（顺便说一句，直接应用向量语言常常更好些），完全可以按同一路线来发展三维几何，…………当然，"传统至上"的捍卫者对此会有个现成问答：不管人们是否相信，按他们的方式授欧氏几何，是启发儿童的思维使之真正理解数学的唯一方法。
但由于从未试验过其他的方案，就我看来，这与其说是可取的主张，还不如说是一种信条》1980年8月在美国加州的伯克利（Berkeley）举行的第四届国际数学教育会议（ICME--IV）上对这场运动的成败作了分析与评估特别是对中学教育阶段为什么要学习几何重新作了反思，认识到几何教学并不是一件容易的事但是在许多国家，对于在几何教学中所产生的各种问题和障碍却并不是面对它，克服它，而是仅仅采取毫无替代地删除其主要部分的方式，以逾越这些障碍，这种做法并不可取甚至钬奥东尼本人在1980年的（ICME--IV）会议上断言说：几何"突然冲破了其传统狭隘的束缚，……，已经显露出其潜在的力量及其异乎寻常的多面性和适应性从而成为数学最广泛和最用的工具之一"这与他在1959年所说的"欧几里德滚出去"！的说法已有很大的不同了英国数学家阿蒂亚（M.Atiyah）在谈到数学教育的内涵是什么时说"…… 欧氏几何最初是数学原始材料的巨大源泉，几个世纪以来都是学校教育的台柱，可是现在它失去了王位，被贬至后排座上19世纪战场最终以代数与分析的胜利而告终，这最后必定导致欧氏几何在中学和大学的名存实亡，有种种理由使我觉得这是最不幸的事。
……我一直试图指出，本世纪的数学很大程度上是与这样的困难作斗争它们的本质特征是几何的……当然对这种更一般的几何观点，欧氏几何的框架太窄了然而，常常出现的情况是，欧氏几何下了台，却没有什么可以填补上这个空位我对几何作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，需知我不是强要别人增加任何一门几何课，我只是请求尽可能广地应用各种水平的几何思想"（引自M.阿蒂亚著）《数学的统一性》，江苏教育出版社）从阿蒂亚的话中可以看出数学家们对"新数运动"在数学教学中完全废弃欧几里德几何是深表担忧的认为这是"最不幸的事"但是对在中学课程中为什么要学习几何？中学几何课的内容是什么？几何与计算机辅助教学（CAI）等问题均没有作出很好的回答1995年9月国际数学教育会议在意大利西西里的卡塔尼亚（Catania）召开，并提出了一份题为"21世纪几何教学的展望"的专题讨论文件文中对本世纪下半世纪以来几何课程改革进行了总结，指出："在大部分国家中，几何似乎已逐渐在数量和质量两方面失去了其在数学教学中的中心地位，……情况通常是，几何已被完全忽略掉，或者只包含了其中非常少的有关内容。
……几何问题趋向于局限在有关简单图形及其性质的初等"事实"上，而且根据报告其成绩也相对地差……近几年，数学课在强调问题提出和问题解决活动中，有一种向传统内容回归的趋势然而，试图恢复早期作为许多国家学校几何课主要经典内容的欧氏几何远末得到成功……一般说来，他们在大学的期间对有关数学中要求更深的部分（特别是几何）的准备更为不足，因为较年青的教师是在忽略几何课程中学习数学的他们在这个领域缺乏良好的背景，又转过来助长了忽视教学的倾向……这种情况，在那些正规学校教育缺乏传统的国家中尤为严峻，在某种情况下几何被完全从数学科目中剔除了……引自“21世纪几何教学的展望”，数学通报，1995第五期）以上就是“新数运动”以来国外的数学家和教育家对几何课程改革的看法和反思二）义务教育下我国中学课程的演变1976年后随着"四人帮"的倒台，全国进行了"拨乱反正"，教育秩序也逐渐恢复在1978年我国制定了《全日制十年制学校中数学教学大纲》（试行草案），并据此大纲编写了全国通用新教材，首先提出了数学教育内容现代化问题；在高中数学中增加了微积分并进行实际教学，这在我国数学教育史上还是第一次，但新大纲和新教材很难适应全国教育水平极不平衡的现象。
要求全国进行微积分教学实际上是不可能的，因此在1983年11月原教育部又颁发了高中数学教学的两种要求的数学教学"纲要"，提出了"基本要求"和"较高要求"两种标准，并编写了相应的两种课本称为"甲种本"和"乙种本"1986年11月国家教委又按照"适当降低难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确具体"三项原则，制定了过渡性教学大纲1988年1月制定了《九年义务教育全日制中学教学大纲》，第一次提出了数学教学的目的的应从由升学教育到全民素质教育的根本转变1990年全国教委又修订了数学教学大纲，公布了《全日制中学数学大纲（修订本）》这次变化主要是规定在高中阶段数学分必修内容和选修内容必修内容为文史类高考和高中毕业会考的命题范围部分选修内容是理工医类高考的命题范围这样修订的大纲虽然增加了弹性，但由于高考指挥棒的影响，实际上学校在教学上并没有选择的余地，单一化的课程结构至今未能改变由于我国高中数学课程存在着内容陈旧，知识面窄，课程结构单一等弊端，国家教委基础教育司自1994年3月起，经过调查研究，编拟初稿，征求意见，审查修订等几个阶段，于1996年4月经国家教委审批，公布了《全日制普通高级中学数学教学大纲》（供试验用）。
大纲中对数学教学重新作了安排，高中数学课程安排必修课，限定选修课和任意修课高一、高二年级开设必修课，作为高中阶段的共同基础高三年级分为文科、理科和实科三种水平，分别开设不同的限定选修课，作为分流的基础并在1997年根据新高中教学大纲编写教材在部分省市面进行试验目前已经由人民教育出版社出版了"数学"高一、高二共四册）第二节 现代数学教育思想--问题解决与几何课程改革的新探索（一）"问题解决"（Problem Solving）口号的提出及其对数学教学的影响（1）"问题解决"的由来"新数运动"在数学课程改革运动中的显著特征是：在中学数学课程中引进现代数学概念，使整个数学课程结构化、代数化；废弃传统的欧几里德几何，强调公理法这样必然会忽视数学的实际应用，忽视对学生在归纳，类比，猜想等合情推理方面的培养；忽视对学生进行实际计算能力的培养数学教育工作者，教师们也认为"在耗费了巨大的劳动与资助以后，实际结果还是比较不太显著，一个曾经受到质问的问题依然存在--许多低年级学生仍然不会做加法！"因此，在1973年后美国数学教育理论中又出现了一个诱人的口号"回到。