微专题04 追及与相遇问题【核心方法点拨】1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．2．能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．4. 解题方法：①临界条件法 ②图象法 ③数学法【微专题训练】【经典例题选讲】【例题1】(2016·全国乙卷·21)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v t图象如图所示已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )A．在t＝1 s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m【例题】由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2。
乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动3 s内甲、乙车的位移分别为：x甲＝a甲t＝45 mx乙＝v0t3＋a乙t＝52.5 m由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，选项B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，由t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m－12.5 m＝40 m，选项D正确答案： BD【变式1-1】入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足100 m在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞如图所示为两辆车刹车后若恰好不相撞的v t图象，由此可知( )A．两辆车刹车时相距的距离一定等于112.5 mB．两辆车刹车时相距的距离一定小于90 mC．两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的D．两辆车一定是在刹车后的20 s以后的某时刻发生相撞的解析： v t图象给定了两车的初速度和加速度，不确定值是刹车前两车间距离。
由两车的v t图象可知，两车不相撞的最小距离Δxmin＝×20 m＝100 m，即当Δx<100 m时两车必相撞，选项A、B均错误；两车相撞一定发生在甲车速度大于乙车速度时，即刹车后的20 s之内，选项C正确，D错误答案： C【变式1-2】(2018·河南省八市高三上学期联考)如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的s－t图象，下列说法中正确的是 ( BD )A．t1s时两物体相距最远B．当t＝t2s时，两物体相遇C．当t＝t2s时，两物体相距最远D．当t＝t3s时，两物体相距s1m[解析] 由图象可以看出，乙在t1时刻乙的位置坐标为0，甲的位置坐标为s1，甲沿负向做匀速直线运动，乙启动后沿正向运动，两者间距减小，故t＝0时两物体相距最远，t＝t2s时，两者相遇，相遇后间距增大，当t＝t3s时，两物体又相距最远，故A错误；当t＝t2s时，两物体到达同一位置而发生相遇，故B正确，C错误；当t＝t3s时，甲的位移为零，乙的位移为s1，所以当t＝t3s时，两物体相距s1m，故D正确，故选BD例题2】如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为( )A．7 s B．8 sC．9 s D．10 s【解析】B物体减速到零所需的时间t＝＝ s＝5 s在5 s内A物体的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 mB物体的位移xB＝t＝×5 m＝25 m则在5 s时两物体相距Δx＝xB＋7 m－xA＝(25＋7－20) m＝12 m则A追上B所需的时间为t′＝t＋＝5 s＋ s＝8 s．【答案】B【变式2-1】(2017·湖南五校联考)如图所示，质量均为1kg的两个物体A、B放在水平地面上，相距7m，它们与水平地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2。
现使它们分别以初速度vA＝6m/s和vB＝2m/s同时相向运动，不计物体的大小，g取10m/s2则 ( D )A．它们经过(3＋)s相遇B．它们经过s相遇C．它们在距离物体A出发点5.25m处相遇D．它们在距离物体A出发点6m处相遇[解析] 对物体A进行受力分析，A受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律，有－μmg＝ma1，故加速度为a1＝－μg＝－2m/s2；同理，物理B的加速度为a2＝－μg＝－2m/s2物体B的初速度较小，首先停止运动，故其停止运动的时间为t1＝＝1s，该段时间内物体A的位移为xA1＝vAt1＋a1t＝5m，物体B的位移为xB＝vBt1＋a2t＝1m故此时开始，物体B不动，物体A继续做匀减速运动，直到二者相遇，即它们在距离物体A出发点6m处相遇，故C错误，D正确；1s末物体A的速度为vA1＝vA＋a1t1＝4m/s，物体A继续做匀减速运动过程，则xA2＝vA1t2＋a1t＝1m，解得t2＝(2－)s[t′2＝(2＋)s舍去]，故从出发到相遇的总时间为t＝t1＋t2＝(3－)s，故A、B错误变式2-2】(2017·安徽淮北一中四模)甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以1m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间。
答案：(1)18m (2)12.5s[解析] (1)在乙车追上甲车之前，当两车速度相等时两车间的距离最大，设此时经过的时间为t1，则由v1＝v2＋at1，a＝－1m/s2，得t1＝6s此时甲车的位移为x1＝v2t1＋at＝42m乙车的位移为x2＝v1t1＝24m所以两车间的最大距离为Δx＝x1－x2＝18m(2)设甲车停止的时间为t2，则有t2＝＝10s甲车在这段时间内发生的位移为x＝t2＝50m乙车在这段时间内的位移为x′＝v1t2＝40mx′L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能超过乙车。
变式3】(2017·福建师大附二中期中)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内问：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？答案：(1)75m (2)12s[解析] (1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等则：t1＝＝s＝4s货车的位移为：s货＝vt′＝10×(5.5＋4)m＝95m警车的位移为： s警＝at2＝×2.5×42m＝20m所以两车间的最大距离为：Δs＝s货－s警＝(95－20)m＝75m(2)v0＝90km/h＝25m/s当警车刚达到最大速度时，运动时间为： t2＝＝s＝10s此过程中货车的位移为：s货′＝vt＝10×(5.5＋10)m＝155m此过程中警车的位移为：s警′＝at2＝×2.5×102m＝125m因为s货′＞s警′，故此时警车尚未赶上货车且此时两车距离为：Δs′＝s货′－s警′＝30m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车，则：Δt＝＝2s所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s才能追上货车。
巩固习题】1.在一大雾天，一辆汽车以32 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，t＝0时刻汽车司机突然发现正前方100 m处有一辆货车以20 m/s的速度同方向匀速行驶，为避免与货车相撞，汽车司机立即刹车已知两车运动的v t图象如图所示，则( )A．汽车减速运动时的加速度为4 m/s2B．两车的最近距离为18 mC．t＝6 s时汽车和货车相撞D．t＝3 s时货车在汽车前解析： 由v t图象可知汽车减速运动时，加速度a＝＝ m/s2＝－4 m/s2，加速度是矢量，既有大小又有方向，所以A选项错误；二者速度相等时两车具有最小距离，根据v＝v0＋at得t＝3 s，此时二者距离x＝x0＋vt－＝82 m，所以B错误，D正确；“匀减速追匀速”，速度相等时没有追上，此后汽车速度小于货车速度，二者不会相撞，选项C错误答案： D2. 甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的vt图像如图所示．两图像在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S.在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d.已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是( ) A．t′＝t1，d＝S B．t′＝t1，d＝SC．t′＝t1，d＝S D．t′＝t1，d＝S【解析】在t1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t′＜t1，从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看：因为要相遇两次，所以第一次相遇不可能在t1时刻，故A项错误；当t′＝t1时，由几何关系可知甲的面积为S，乙的面积为，所以甲的面积比乙的面积多出S，即相距d＝S时正好相遇，故B、C项组合不可能，D项组合可能，故选D项．【答案】D3. (2017·湖南邵阳一中月考)一个步行者以6m/s的速度匀速追赶一辆被红灯阻停的汽车，当他距离汽车25m时，绿灯亮了，汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进，下列结论正确的是 ( B )A．人能追上汽车，追赶过程中人跑了36mB．人不能追上汽车，人车最近距离是7mC．人能追上汽车，追上前人共跑了43mD．人不能追上汽车，且汽车开动后人车相距越。