第 6 章 立体几何,6.4 直线和平面的位置关系(二),一、复习,问题：,1. 直线与平面平行的判定方法是什么？,2. 直线与平面垂直的判定方法是什么？,3. 直线与平面垂直有什么性质？,二、直线和平面斜交,1 斜线及其在平面内的射影,从平面外一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影．这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段．,如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足．,从平面外一点向平面引斜线，这个点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上．在图6-36中，直线 是斜线 在平面 内的射影．线段 是斜线段 在 内的射影．斜线 上任意一点在 内的射影都在直线 上．,我们看到，平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段可以有无数条．,根据直角三角形的性质，很容易得到下面定理：,定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (l) 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (2) 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (3) 垂线段比任何一条斜线段都短．,从平面外一点向平面引垂线，这个点和垂足的距离叫做这点到这个平面的距离．,当一条直线和一个平面平行时，显然这条直线上的任意一点到这个平面的距离都相等．因此这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线和这个平面的距离．,2 直线和平面所成的角,以前我们讨论的角都是直线（或射线）间所成的角，由于实际需要，人们还要研究直线与平面所成的角.,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角，通常说成直线和平面所成的角．,在图6-36中，由于直线 为斜线 在平面 内的射影，所以 为斜线 和平面 所成的角.,特别地，如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面所成的角是直角.如果一条直线和一个平面平行或在平面内，那么这条直线和这个平面所成的角是 的角.,例6 如图6-39，等腰三角形 的顶点 在平面 外，底边 在 内，已知底边长 ，腰长 又知点 到 所引垂线段 .,求 （1）等腰三角形ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面 所成的角的大小.,练习题6.4.4.1,参考答案,1. （1） ，平行或直线在平面内，垂直，相交且不垂直. （2）无数. 2.（1）分别是 、 、 、 ； （2）分别是 、 、 、 ；（3）分别是 、 ； （4）分别是 、 ； （5） 、 、 、 .,3.三垂线定理,我们知道，如果一条直线是一个平面的垂线，那么这条直线就和这个平面内的任意一条直线都垂直.但是如果一条直线是一个平面的斜线，那么它和这个平面内的直线是都不垂直呢？还是有一部分垂直呢？,实验 如图6-40所示，拿一根车条（剪掉两头）斜靠在讲桌桌面上（固定不动），直角三角板的长直角边始终紧靠着车条，三角板可以沿着车条上下滑动或转动，使得三角板的短直角恰好与桌面吻合.,通过实验我们发现，平面的斜线能够和平面内的直线垂直，而且平面内与斜线垂直的直线有无数条，由相交垂直的，还有异面垂直的.,那么，如何判断平面内的一条直线和平面的斜线是垂直的呢？,实验 如图6-41所示，把车条摆放在讲桌上，让三角板的短直角边紧靠着桌面，并竖直放置，发现当车条与三角板的短直角边垂直时，车条也和三角板的斜边垂直.反过来，我们还可以发现，当车条与三角板的斜边垂直时，车条也和三角板的短直角边垂直.,如果我们把车条、三角板的三条边、讲桌面看成数学中的直线和平面，则三角板短直角边所在的直线显然为斜边所在直线的射影，于是上面的实验可总结为如下的定理：,也就是说，设 和 分别是平面 的垂线和斜线， 是 在平面 内的射影，直线 在 内，则 .,现在我们解决本章开始提出的问题.设地面（看做一个平面）记作 ，它是由路 （看做一条直线）和 外的塔基 （看做一个点）确定的，于是有如下题目：,已知 如图6-44所示， 于点B，直线L在平面 内，点C 、 D 在L上 ， ，CD=60m,AB=80 m，求 点A 到直线L的距离.,练习题6.4.4.2,参考答案：,（1）因为 ， ，所以 平面 ，又因为 在平面 内，所以 .,（2）联结 ，则 . 因为 平面 ， 是斜线 在平面 内的射影， 在平面 内，所以 .,（3）联结 ，则 . 因为 平面 ， 是斜线在平面 内的射影， 在平面 内，所以 .,三、小结：,1．本节课知识内容,2．需要注意的问题,直线和平面相交，它们之间的相对位置可用直线和平面所成的角来刻画． (1) 直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角； (2) 直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角； (3) 直线和平面平行时，直线和平面所成的角是 的角. 因此，直线和平面所成的角的范围为 ，其中（1）是一般情形，（2）、（3）是特殊情形.,四、练习与作业：,练习 习题 6.4第1 (7)、（8）、(9)题. 达标训练6.4第1题。
作业 习题 6.4第7、8题；达标训练6.4第3、4、5题结 束,。