word版 初中数学题型全解10 圆动点的运动路径问题【思路梳理】1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度；【典型例题】1.正方形ABCD的边长为4cm，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为_____思路分析：抓住点O运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线①初始位置：点P的初始位置是点B，此时Q与C重合，AQ与对角线AC重合，AQ的中点O即为正方形对角线的中点O`；②任意位置：题目给的图形即是点O运动的任意位置；③结束位置：当P与C重合时，AP与AC重合，Q是PQ⊥AP的垂足，所以Q与C、P重合，AQ与AC重合，AQ的中点O仍是正方形对角线的中点O`，把以上三个位置连线，可知线段AQ的中点O的运动轨迹是O`---O----0`这条线段上运动，而CQ的长度也是由小到大再到小的变化，则OO`是中位线，所以，当CQ有最大值时，OO`也有最大值.由于图中出现了“一线三直角”的典型模型，我们可以用代数办法来求CQ的最大值。
解题过程： 如图，连接AC，取AC的中点O`，取AQ的中点O，连接OO`，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，∵△ABP∽△PCQ，∴AB:PC=BP:CQ,即4:(4-x)=x:y,∴y=-0.5x*2+x=-0.5+1(0 ①初始位置：当P在点A时，H、M均与A重合；②任意位置：题目给的图形即是点M运动的任意位置；③结束位置：当P运动到B点时，PH与BO重合，则M与O重合；把以上三个位置连线，可知点M的运动轨迹是为弧AMO.求弧长，必先找到圆心角和半径，利用垂径定理及相应角度，即可画出弧OMA所在的圆，再依公式算出点M的运动路径长解题过程：过A、M、O作⊙O`，依数学典型模型“两角平分线的平角问题”可得∠PMO=135，易证△OPM≌△OAM,∴∠PMO=∠AMO=135，由圆中四边形对角互补性质可得，所对的圆周角为45，∴则∠AO`O=90，∵AO=2，∴O`A=,∴的长度=，即点M所经过的路径长为.4.（1）如图.已知正三角形ABC的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________（2）如图.已知正四边形ABCD的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________解析：（1）如图2，O点的运动轨迹是三个半径为，圆心角为120的扇形，所以路径长= 4903602Л√2=2√2Л（2）如图2，O点的运动轨迹是四个半径为，圆心角为90的扇形，所以路径长=5. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别从点A、D以相同的速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从D 向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动，连接BE、AF相交于点G，连接CG，有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为；③线段DG的最小值为；④当线段DG最小时，，其中正确的命题有__________①②③2√5-2 S△BCG=8+(8/5)√5 Л 解析：①先证△ABE≌△DAF（AAS），可得∠ABE=∠DAF,∵∠DAF+∠BAG=90,∴∠ABE+∠BAG=90,即AF⊥BE；②∵∠AGB保持90不变，∴G点在以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C,∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90，∴长度为90Л2180=Л③∵OG=固定长，∴要求DG最短，即求OG+DG最短，当O、G、D在同一条直线上时，DG取最小值，，∴DG的最小值为OC﹣OG=﹣2，故③正确；④过G作BC 垂线与AD相交相交于点M，与BC相交于点N，∴GM//OA,∴∴,∴, ∴GM:OA=DG:DO,∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,∴S△BCG=4+0.4√5∴故④错误；4 / 4。
①初始位置：当P在点A时，H、M均与A重合；②任意位置：题目给的图形即是点M运动的任意位置；③结束位置：当P运动到B点时，PH与BO重合，则M与O重合；把以上三个位置连线，可知点M的运动轨迹是为弧AMO.求弧长，必先找到圆心角和半径，利用垂径定理及相应角度，即可画出弧OMA所在的圆，再依公式算出点M的运动路径长解题过程：过A、M、O作⊙O`，依数学典型模型“两角平分线的平角问题”可得∠PMO=135，易证△OPM≌△OAM,∴∠PMO=∠AMO=135，由圆中四边形对角互补性质可得，所对的圆周角为45，∴则∠AO`O=90，∵AO=2，∴O`A=,∴的长度=，即点M所经过的路径长为.4.（1）如图.已知正三角形ABC的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________（2）如图.已知正四边形ABCD的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________解析：（1）如图2，O点的运动轨迹是三个半径为，圆心角为120的扇形，所以路径长= 4903602Л√2=2√2Л（2）如图2，O点的运动轨迹是四个半径为，圆心角为90的扇形，所以路径长=5. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别从点A、D以相同的速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从D 向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动，连接BE、AF相交于点G，连接CG，有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为；③线段DG的最小值为；④当线段DG最小时，，其中正确的命题有__________①②③2√5-2 S△BCG=8+(8/5)√5 Л 解析：①先证△ABE≌△DAF（AAS），可得∠ABE=∠DAF,∵∠DAF+∠BAG=90,∴∠ABE+∠BAG=90,即AF⊥BE；②∵∠AGB保持90不变，∴G点在以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C,∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90，∴长度为90Л2180=Л③∵OG=固定长，∴要求DG最短，即求OG+DG最短，当O、G、D在同一条直线上时，DG取最小值，，∴DG的最小值为OC﹣OG=﹣2，故③正确；④过G作BC 垂线与AD相交相交于点M，与BC相交于点N，∴GM//OA,∴∴,∴, ∴GM:OA=DG:DO,∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,∴S△BCG=4+0.4√5∴故④错误；4 / 4。
