初中数学精品讲义 用公式法求解一元二次方程模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2．会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；知识点一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.知识点二、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即；（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.考点一：利用用公式法还原一元二次方程例1．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】略【变式1-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为，∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，∴这个方程为．故选：D【变式1-2】（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式．【详解】解：、中，，不合题意；、中，，不合题意；、中，，不合题意；、中，x，符合题意；故选：．【变式1-3】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）A． B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故选：D考点二：求一元二次方程中判别式的值例2.（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（ ）A．16 B．24 C．72 D．64【答案】B【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解．【详解】解：，即∴，故选：B．【变式2-1】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程的系数的带、、的值，再将其代入求值即可得到结果．【详解】解：在一元二次方程中，，，，，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的系数与根的判别式，熟练掌握基本知识是解题关键．【变式2-2】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（ ）A．2 B． C．17 D．【答案】C【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论．【详解】解：原方程可变形为，，，，．故选：C【变式2-3】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（ ）A．16 B．4 C．32 D．64【答案】D【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、、的值，最后求出判别式的值即可．【详解】解：，，，，，；故选：D．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．考点三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可．【详解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【变式3-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：．【答案】【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：，，，．【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：∴，∴解得：，【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程无解【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；（1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程无解． 考点四：用公式法解一元二次方程的错题复原问题例4. （2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一；(2)正确的解答见解析．【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，故答案为：一；（2）解：方程化为一般式为，，，，，，，．【变式4-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.【答案】见解析【详解】解：有错误，的值应为.将方程化为一般形式，得.∵，，，∴，∴，∴，.【变式4-2】（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：解方程解： （第一步） （第二步）∴原方程无实数根 （第三步）(1)嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；(2)请你写出此题的正确的求解过程．【答案】(1)一，原方程没有化成一般形式(2)见解析【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式；（2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．【详解】（1）解：确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式故答案为：一；原方程没有化成一般形式；（2）解：原方程化成一般形式是：∵，，∴∴ 即，【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解过程中的易错点：未将一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．【变式4-3】（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：∵，， ①∴ ② ③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是： ；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)③(2)计算错误(3)见解析【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误故答案为：③；（2）计算错误（负数乘以负数得负数）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤．考点五：根据判别式判断一元二次方程根的情况例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．【详解】解：∵，∴，∴方程两个不相等的实数根．故选A．【变式5-1】（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【变式5-2】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．【变式5-3】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）。
