初中数学精品讲义 用因式分解法求解一元二次方程模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2．因式分解法解一元二次方方程的应用；知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．【详解】（1）解：①②∴．（2）解：①②∴．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：．【答案】，【分析】采用因式分解法即可求解．【详解】移项得，，提取公因式得，．故或，解得，．【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键．【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)； (2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：，因式分解得，即或，解得，．（2）解：，移项得，因式分解得，即或，解得，．考点二：用十字相乘法求解一元二次方程例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：（2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解：方程左边因式分解得或试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，；（3）或∴，；（4）或∴，．【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键．【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：．【答案】，．【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【详解】解：，，或，∴，．【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：（2）若，则或，所以方程可以这样求解：方程左边分解因式得∴或∴，上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程：①； ②；③；④．【答案】①， ②， ③， ④，【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可．【详解】解：①由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；②由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；③由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；④由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，．【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键．考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题例3. （22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程：解：方程两边因式分解，得，①方程两边同除以，得，②∴原方程的解为．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵可能为0，∴不能除以，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得，移项，得，∴，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下：解法一：或或解法二：，，此方程无实数根．(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．(2)请选择合适的方法求解此方程．【答案】(1)两位同学均错(2)，【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断；（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确．（2），，或，所以，．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：甲：两边同除以得：则（ ）乙：移项得提公因式则或（ ）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．【答案】×；×，见解析【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．根据因式分解法解一元二次方程．【详解】解：根据题意得：甲：两边同除以得：则（×）乙：移项得提公因式则或（×）解：或．【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以得，第2步：移项，得，第3步：解得．小彤的解题过程：第1步：移项，得，第2步：提取公因式，得．第3步：则或，第4步：解得，．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．【答案】(1)1，2(2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0，所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步；小彤的解法中，第1步移项没错，第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；故答案为：1；2；（2）解：正确的解法是：，移项，得，提取公因式，得，则或，解得，注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）A．1 B．11和13 C．11或8 D．13【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．【详解】解方程得或，当时，，不能构成三角形；当时，这个三角形的周长是，故选D．【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可．【详解】解：是一元二次方程的根，，即，解得，或（不合题意，舍去）．∴，，在中，，，的周长．故选：A．【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（ ）A．或 B． C． D．或【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解．【详解】解：∴解得：由∴，解得：或依题意，这个直角三角形的三边分别为，∴这个直角三角形的周长为，故选：C．【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，。
