1 专题 06 二元一次方程（组） 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 2 知识点一二元一次方程（组）有关概念 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程 【注意】 1） 二元：含有两个未知数； 2）一次：所含未知数的项的次数都是1 例如： xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程 2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数） 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 【注意】 1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值 2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一 对数值就是它的解 二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 【注意】 1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含 有两个未知数， 如 2x10， x2y2 也是二元一次方程组这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两 个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量 4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 【注意】 1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解 2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解 如： xy 5， 4x4y20. 有的方程组无解，如： xy 5， xy 2. 【典型例题】 1 （2019天津中考模拟）方程组 1 25 xy xy 的解是（） A 1 2 x y B 2 1 x y C 1 2 x y D 2 1 x y 3 【答案】 D 【解析】 A 1 2 x y 不满足方程组 1 25 xy xy ，故不符合题意；B， 2 1 x y 不满足方程组 1 25 xy xy ，故不符合 题意； C， 1 2 x y 不满足方程组 1 25 xy xy ，故不符合题意；D， 2 1 x y 满足方程组 1 25 xy xy ，故符合 题意，故选D 2 （2019湖北中考真题）把一根长9m的钢管截成1m长和 2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设 某种截法中1m长的钢管有a 根，则 a 的值可能有（） A3 种B4 种C5 种D9 种 【答案】 B 【详解】 解：设2m的钢管b根，根据题意得： 29ab， a、b均为整数， 1 4 a b ， 3 3 a b ， 5 2 a b ， 7 1 a b 故选： B 考查题型一利用二元一次方程的定义求解参数值 1（2017山东中考模拟）已知关于x、 y 的方程 221 6 m nm n xy是二元一次方程， 则 m 、 n 的值为（） Am=1 ，n=-1 Bm=-1,n=1 Cm= 1 3 ,n= 4 3 Dm= 1 3 ，n= 4 3 【答案】 A 【详解】 方程 221 46 m nm n xy是二元一次方程， 23 0 mn mn ，解得： 1 1 m n 故选 A 2 （2016贵州中考真题）已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（） A B 4 C D 【答案】 A 【解析】 二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的整式方程，依题意， 有： 2??- ??-2 = 1 ??+ ??+ 1 = 1 ， 解得： m=1 ， n=-1. 3 （2017江苏中考模拟）如果 4 210 a ba b xy是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ( ) A3、1 B3、2 C2、1 D2、-1 【答案】 B 【解析】试题解析：依题意，得 1 4 1 ab ab ， 解这个方程组得a=3， b=2 故选 B. 考查题型二二元一次方程（组）解得应用方法 1 （2017湖北中考模拟）方程组 10 6 mxy xy 的解是 4 2 x y ，则 m的值是（） A3 B-3 C2 D-2 【答案】 C 【解析】 将 x=4，y=2 代入方程组得：4m+2=10 ， 解得： m=2. 故选 C 2（2019辽宁中考真题） 关于x，y的二元一次方程组 2 mxyn xnym 的解是 0 2 x y ， 则mn的值为（） A4 B2 C1 D0 【答案】 D 【详解】 5 解：把 0 2 x y 代入得： 2 22 n nm ，解得： 2 2 m n ，0mn， 故选： D 3 （2012山东中考真题）关于x、y 的方程组 3 xym xmyn 的解是 1 1 x y ，则mn的值是（） A5 B3 C2 D1 【答案】 D 【详解】 解：方程组 3xym xmyn 的解是 1 1 x y ， 3 1 1 m mn 解得 2 3 m n 所以， |m-n|=|2-3|=1 故选 D 4 （2012山东中考真题）已知 =2 =1 x y 是二元一次方程组 +=8 =1 mx ny nxmy 的解，则2mn的算术平方根为（） A2BC2 D4 【答案】 C 【解析】 =2 =1 x y 是二元一次方程组 +=8 =1 mx ny nxmy 的解， 2+ =8 2=1 m n nm ，解得 =3 =2 m n 。
2=232=4=2mn 即2mn的算术平方根为2故选 C 知识点二解二元一次方程组 消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉 的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数这种将未知数的个数由多化少、逐一 解决的思想，叫做消元的思想 6 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方 程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解这个方法叫做代入消元法，简称代入法 基本思路：未知数由多变少 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1. 变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示 2. 代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程 3. 解：解一元一次方程 4. 求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值 5. 写：写出方程组的解 6. 验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解， 负责解题有误 考查题型三用代入法解二元一次方程组的方法 1 （2019北京中考模拟）二元一次方程组 2 24 xy xy 的解是() A 0 2 x y B 2 0 x y C 3 1 x y D 1 1 x y 【答案】 B 【详解】 2 24 xy xy ， +得： 3x=6，即 x=2， 把 x=2 代入得： y=0， 则方程组的解为 2 0 x y ， 故答案选B. 2 （2019丹东市第十四中学中考模拟）以方程组 2 1 yx yx 的解为坐标的点(x ，y) 在平面直角坐标系中 的位置是 ( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 7 【答案】 A 【解析】 2, 1. yx yx ， +得， 2y=1， 解得 ,y= 1 2 . 把 y= 1 2 代入得 , 1 2 =- x+2， 解得 x= 3 2 . 3 2 0, 1 2 0，根据各象限内点的坐标特点可知， 点(x,y)在平面直角坐标系中的第一象限。
故选： A. 3 （2017内蒙古中考模拟）已知一个等腰三角形的两边长x，y 满足方程组 23 328 xy xy ，则此等腰三角 形的周长为（） A5 B4 C3 D5 或 4 【答案】 A 【解析】 先解二元一次方程组 23 328 xy xy , 解得 2 1 x y , 所以等腰三角形的两边长为2,1. 若腰长为1, 底边长为2, 由三角形三边关系可知这样的三角形不存在, 若腰长为 2, 底边长为 1, 根据三边关系可知可以构成三角形, 所 以这个等腰三角形的周长为5. 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相 减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1. 变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数） 2. 加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程 3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值 4. 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值 8 5. 写解：写出方程组的解。
6. 检验： 将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解， 负责解题有误 考查题型四用加减法解二元一次方程组的方法 1 （2018广西中考真题）若|321|20 xyxy，则x，y的值为（） A 1 4 x y B 2 0 x y C 0 2 x y D 1 1 x y 【答案】 D 【解析】 32120 xyxy， 321 0 20 xy xy 将方程组变形为 32 =1 =2 xy xy ， +2 得， 5x=5，解得 x=1， 把 x=1 代入得， 3-2y=1 ，解得 y=1， 方程组的解为 1 1 x y 故选： D 2 （2019广东华南师大附中中考模拟）已知a，b 满足方程组 ??+ 5??= 12 3?? - ??= 4 则 a+b 的值为（） A 4 B4 C 2 D2 【答案】 B 【解析】 试题解析： ??+ 5??= 12 3??- ??= 4 ， +： 4a+4b=16 则 a+b=4， 故选 B 9 3 （2019黑龙江中考模拟）由方程组 +=4 3 x m ym 可得出x与y之间的关系是 ( ) Axy1 Bxy 1 Cxy7 Dxy 7 【答案】 C 【详解】 原方程可化为 4 3 xm ym ， +得， x+y=7 故选 C 整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另 一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。
例 548 544 xy xy 令 x+5=m ，y-4=n 原方程可写为 8 m4 mn n 解得 m=6 ，n=2，所以 x+5=6,y-4=2 ， 所以 1 6 x y 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因 考查题型五用整体消元法解二元一次方程组的方法 1 （2017浙江中考真题）若二元一次方程组的解为则（ ） ABCD 【答案】 D 【解析】 x+y=3，3x-5y=4 ， 两式相加可得： （x+y）+（3x-5y ）=3+4， 4x-4y=7 ， 1 0 x-y=， x=a，y=b， a-b=x-y= 故选 D. 2 （2018河北中考模拟）若方程组 237 351 mn mn 的解是 2 1 m n ，则方程组 21327 31521 xy xy 的解 是（） A 1 1 x y B 1 1 x y C 3 1 x y D 3 3 x y 【答案】 A 【解析】 解：令x+1=m，y 2=n，方程组 21327 31521 xy xy （） （） （） （） 可化为 237 351 mn mn 方程组 237 351 mn mn 的 解是 2 1 m n ，x+1=2，y2=1，解得： 1 1 x y 故选 A 考查题型六利用同解方程组确定字母取值的方法 1 （2019杭州绿城育华学校中考模拟）若关于x，y的二元一次方程组 5 9 xyk xyk。