复合函数知识总结及例题

1复合函数问题一、复合函数定义：一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的y=f［g(x)］叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：二、复合函数定义域问题：(1)、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f x( )f g x( )思路：设函数的定义域为 D，即，所以的作用范围为 D，又 f 对作用，作用范f x( )xDfg x( )围不变，所以，解得，E 为的定义域Dxg)(xEf g x( )例例 1. 设函数的定义域为（0，1） ，则函数的定义域为_____________f u( )fx(ln )解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u( )u ()01，f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01lnx解得，故函数的定义域为（1，e）xe()1，fx(ln )例例 2. 若函数，则函数的定义域为______________f xx( ) 1 1f f x( )解析：先求 f 的作用范围，由，知f xx( ) 1 1x  1即 f 的作用范围为，又 f 对 f(x)作用所以，即中 x 应xR x |1f xRf x( )( ) 且1f f x( )满足即，解得x f x   1 1( )xx   1 1 11xx  12且故函数的定义域为f f x( )xR xx  |12且（（2）） 、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x( )f x( )思路：设的定义域为 D，即，由此得，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作f g x( )xDg xE( ) 用，作用范围不变，所以为的定义域。

xEE ，f x( )例例 3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________fx()32x  12，f x( )解析：的定义域为，即，由此得fx()3212，x  12，3215 x，所以 f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15，x  15，2即函数的定义域为例例 4. 已知，则函数的定义域为-------f x( )15，f xx x()lg22248f x( )解析：先求 f 的作用范围，由，知f xx x()lg22248x x2280解得，f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以，x244()4，  x  ()4，即的定义域为f x( )()4，  （（3）） 、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x( )f h x( )思路：设的定义域为 D，即，由此得，的作用范围为 E，又 f 对作f g x( )xDg xE( ) fh x( )用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域h xE( ) xFf h x( )例例 5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

fx()211，fx(log)2解析：的定义域为，即，由此得fx()211，x  11，21 22x ，的作用范围为，又 f 对作用，所以，解得f1 22，  log2xlog21 22x  ，x 24，即的定义域为fx(log)224，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨三、复合函数单调性问题三、复合函数单调性问题（（1 1）引理证明）引理证明已知函数已知函数. .若若在区间在区间 ）上是减函数，其值域为）上是减函数，其值域为(c(c，，d)d)，又函数，又函数))((xgfy )(xgu ba,(在区间在区间(c,d)(c,d)上是减函数，那么，原复合函数上是减函数，那么，原复合函数在区间在区间 ）上是增函数）上是增函数. .)(ufy ))((xgfy ba,(证明：在区间）内任取两个数，使ba,(21,xxbxxa21因为在区间）上是减函数，所以,记, 即)(xgu ba,()()(21xgxg)(11xgu )(22xgu ),(,21, 21dcuuuu且3因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，)(ufy )()(21ufuf))(())((21xgfxgf故函数在区间）上是增函数.))((xgfy ba,(（（2）） ．复合函数单调性的判断．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy 增 ↗减 ↘)(xgu 增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘))((xgfy 增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（（3）、复合函数）、复合函数的单调性判断步骤：的单调性判断步骤：))((xgfy ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：与与)(ufy )(xgu ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函))((xgfy 数），则复合后的函数为减函数))((xgfy （（4）例题演练）例题演练例 1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆)32(log221xxy解：定义域 130322xxxx或单调减区间是 设 则 ), 3( 2121), 3(,xxxx且)32(log12 1 211xxy)32(log22 2 212xxy=)32(12 1xx) 32(22 2 xx) 2)((1212xxxx∵ ∴ 312 xx012 xx0212 xx4∴> 又底数 )32(12 1 xx) 32(22 2 xx1210∴ 即 012 yy12yy ∴在上是减函数奎屯王新敞新疆y), 3( 同理可证：在上是增函数奎屯王新敞新疆y) 1,(［例］2、讨论函数的单调性.) 123 (log)(2xxxfa［解］由得函数的定义域为01232 xx}.31, 1|{xxx或则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.1a1x1232xxu) 123 (log)(2xxxfa若，∵为减函数.31x1232xxu∴为减函数。

) 123 (log)(2xxxfa当时，若，则为减函数，若，则10 a1x) 123 (log)(2xxxfa31x为增函数.) 123 (log)(2xxxfa例 3、.已知 y=(2-)在［0，1］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogxa解：∵a＞0 且 a≠1当 a＞1 时，函数 t=2->0 是减函数xa由 y= (2-)在［0，1］上 x 的减函数，知 y=t 是增函数，alogxaalog∴a＞1由 x［0，1］时，2-2-a＞0,得 a＜2,xa∴1＜a＜2当 00 是增函数奎屯王新敞新疆xa由 y= (2-)在［0，1］上 x 的减函数，知 y=t 是减函数，alogxaalog∴0

)0),2(( f［解析］由已知，得，0)2(mf02)3(2amaam5其中 ∴即，. 0,aRm009232 aa解得.3721 3721a∵为负整数，∴a. 1a∴，1)2(34)2(2xxxxf即 ，. 1)(2xxf242221) 1()]([)(xxxxffxg∴. 1) 12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数，使得满足条件，设，)0(pp)(xF21xx ∴].12)()[()()(2221222121pxxpxxxFxF∵，当时，为减函数，3)2(f)3,(,21xx)(xF∴，∴0)()(21xFxF. 012)(, 022212221pxxpxx∵,∴,3, 321xx182221 xx∴,11612)(2221ppxxp∴①. 0116p当时, 增函数,∴)0 , 3(,21xx)(xF. 0)()(21xFxF∵,∴,02221 xx11612)(2221ppxxp∴.②0116p由①、②可知，故存在161p.161p一．指数函数与对数函数 ．同底的指数函数与对数函数互为反函数；xyalogayx（二）主要方法： 1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和 为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．01 （三）例题分析：例 1． （1）若，则，，从小到大依次为 ；21abalogbb alogbalogab（2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ；235xyzxyz2x3y5z（3）设，且（，） ，则与的大小关系是 （ ）0x 1xxab0a 0b ab（） （） （） （）A1baB1abC1baD1ab解：（1）由得，故．21ababaalogbb alogba1 logab6（2）令，则，，，，235xyzt1t lg lg2tx lg lg3ty lg lg5tz ∴，∴；2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2 lg3tttxy23xy同理可得：，∴，∴． （3）取，知选（） ．250xz25xz325yxz1x B例 2．已知函数，2( )1xxf xax(1)a 求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根．( )f x( 1,) ( )0f x 证明：（1）设，121xx 则1212 12 1222()()11xxxxf xf xaaxx，121212121212223() 11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx∵，∴，，，121xx 110x  210x  120xx∴；12123()0(1)(1)xx xx∵，且，∴，∴，121xx 1a 12xxaa120xxaa∴，即，∴函数在上为增函数；12()()0f xf x12()()f xf x( )f x( 1,) （2）假设是方程的负数根，且，则，0x( )0f x 01x  000201xxax即， ①0000。