第四节 连续型随机变量及其概率密度 一、 连续型随机变量及其概率密度 二、常用连续型分布 一、连续型随机变量及其概率密度 定义如果对随机变量的分布函数 负可积函数使得对任意实数有 则称为连续型随机变量，称的概率密度函 数，简称为概率密度或密度函数. 存在非 (1) (2) 易见概率密度具有下列性质： 注： 上述性质有明显的几何意义. 反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数 一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函 数. 1. 对一个连续型随机变量若已知其密度函数 则概据定义， 可求得其分布函数 还可求得的取值落在任意区间上的概率： 连续型随机变量分布函数的性质： 2. 连续型随机变量取任一指定值 的概率 故对连续型随机变量有 为0. 3. 若在点处连续，则 (1) 由定义和积分上限函数导数公式即得， 由(1)式得： (2) 可将上式理解为： 在点的密度恰好是 落在区间 上的概率之比的极限(比与区间长度 较线密度的定义）. 由(2)式， 若不计高阶无穷小，则有 即， 落在小区间上的概率近似等于 例1 设随机变量的分布函数为 求 (1) 概率 (2)的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 (1) (2)的密度函数为 二 常用的连续型分布 （一）、 均匀分布 定义若连续型随机变量的概率密度为 其它 易见， 记为上服从均匀分布，则称在区间 注：在区间上服从均匀分布的随机变量 其取值落在中任意等长度的子区间内的概率 是相同的， 且与子区间的和度成正比.事实上， 子区间 任取 易求得的分布函数 例2 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达 此站, 如果乘客到达此站时间是 7:00 到 7:30 之 间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的 概率. 解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意 为使候车时间少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所 求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3. 指数分布 定义若随机变量的概率密度为 其中 则称服从参数为的指数分布，简记为 注： 的几何图形如图. 注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间， 例如， 乘客在公交 车站等车的时间， 电子元件的寿命等， 易求得的分布 其它 服从指数分布的随机变量具有无记忆性， 有 因而它在可靠 性理论和排队论中有广泛的应用. 函数 即对任意 ( ) * 若表示某一元件的寿命， 则 式表明：( )*已知元件 使用了 小时， 它总共能使用至少 概率与从开始使用时算起 率相等， 一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因. 即元件对它使用过 小时没有记忆, 它至少能使用 小时的概 具有这 小时的条件 例5 某元件的寿命服从指数分布, 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至 少已有一个损坏的概率. 解 由题设知,的分布函数为 由此得到 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的, 用 表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数, 所求概率为 则 正态分布: 定义若随机变量的概率密度为 其中和都是常数， 则称服从参数为 和的正态分布， 记为 易见， 又利用泊松积分 参见相关知识点① 易证， 注： 正态分布是概率论中最重要的连续型分布， 在十九世纪前叶由高斯加以推广， 故又常称为高 斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素 的影响，而其中每一个因素都不起主导作用， 则它服从正态分布. 例如，产品的质量指标， 元 件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量 误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声， 农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布. 正态分布的图形特征: 4. 确定了曲线的位置； 确定了曲线的陡峭程度. 5. 拐点和渐近线。
标准正态分布： 正态分布当时称为标准正态分布， 此时， 其密度函数和分布函数常用和表示： 标准正态分布的重要性在于， 任何一个一般的正态分 布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 定理设则 证明的分布函数为 所以 标准正态分布表的使用 1. 表中给出了时 的数值， 利用正态分布的对称性(如下图)，易见有 2. 若则 3.若 故的分布函数 例6 设求 解 这里故 查表得 0.9772; 例5 解 假设某地区成年男性的身高(单位:厘米) 求该地区成年男性的身高超过 厘米的概率 . 根据假设且表 示该地区成年男性的身高超过厘米 , 可得 准则 设则 同理， 如图，尽管正态随机变量的取值范围是 但它的值几乎全部集中在 范围的可能性仅占不到此为0.3%.这在统计学上称为 准则 (三倍标准差原则). 超出这个 如图，尽管正态随机变量的取值范围是 例10 格品的概率. 已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米) 根据假设 记 表示螺栓为合格品. 则 解 于是 规定螺服从参数的正态分布. 内为合格品,栓长度在试求螺栓为合 即螺栓为合格品的概率等于 0.9544. 。