§3.4齐次线性方程组的解的结钩

第四节,齐次线性方程组的 解的结构,1.齐次线性方程组有非零解的充要条件,x1 1 + x2 2++ xn n=0,以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组,向量形式：,矩阵形式：,Ax=0,定理：齐次线性方程组Ax=0 (其中Amn) 有非零解的充要条件是,r(A)n,,,,,推论2： A为n阶矩阵时, A x=0 有非零解的 充要条件:A =0,推论1： A为mn矩阵, A x=0 只有零解的 充要条件: r=n,2. 齐次线性方程组解的结构,定理 齐次线性方程组A x=0 的任意两个解向量 的线性组合 (k1 ,k2 为任意常数) 也是它的解.,（可推广至ｎ个解向量）,定义: 设 是Ax=0 的解向量，若满足: (1） 线性无关； （2）Ax=0 的任意一个解向量都可由 线性表示; 则称 为Ax=0的一个基础解系.,(其实就是所有解向量的一个极大线性无关组),作用：用有限表示无限即方程组的解为：,(其中k1, k2,,kｔ 为任意常数）,称为Ax=0的一般解（通解，结构解）.,注意：Ax=0 的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数是一定的。

3. 求Ax=0 的基础解系的常用方法,定理 设A是mn矩阵，r(A)=rn, 则齐次线性方 程组 Ax=0 存在基础解系，,且基础解系包含nr 个解向量.,,方法： 找见ｎ－ｒ个线性无关的解向量就可 以作为基础解系例1．求方程组 Ax=O 的基础解系和一般解其中,解： 对A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵:,,,,,r(A)=3, n-r=2,同解方程：,令（x2, x5）=（1, 0）,（x2, x5）=（0, 1）,则 为方程组的一个基础解系方程组的通解为：,例2．求方程组 基础解系和一般解解： 对系数矩阵A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵:,令（x3, x4, x5）=（1, 0,0）,（x3, x4, x5）=（0, 1,0）,则 为方程组的一个基础解系方程组的通解为：,（x3, x4, x5）=（0, 0,1）,例3．求方程组 基础解系和一般解解： 对系数矩阵A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵:,总结：求AX=0 的通解的方法,1.将A通过初等行变换化为行简化阶梯型矩阵；,2.若 r(A)= n, 则AX=0仅有零解； 若 r(A) n, 则AX=0有非零解，转入下一步；,3.确定基础解系所含解向量（自由未知量）的个数： n-r(A),4.找见 n-r(A) 个线性无关的解向量即可作为基础 解系；,5.用所得基础解系表示方程组的通解；,r(B)＝秩｛ 1, 2 ,, s ｝ n－r(A), 即 r(A)+r(B) n,证：记 B=(1, 2 ,, s) （i 为B的第 i 列向量）。

由AB=0 ，得 Ai=0 (i=1,, s),即1, 2 ,, s都是Ax=0的解，,又Ax=0 的基础解系含n－r(A) 个解， Ax=0 的任意一组解,中至多包含 n－r(A) 个线性无关的解，所以，,例4． 若AmnBns=0, 则 r(A)+r(B)n,例５． 若AmnBns=0, 且Ｂ为非零阵， 则 ｒ（A） n （Ｐ１４８，２３）,。