1,第三章 插值法和最小二乘法,3.1 插值法,3.2 插值多项式中的误差,3.3 分段插值法,3.4 Newton插值,3.5 Hermite插值,3.6 三次样条 插值,3.7 数据拟合,2,本章要点,用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题.,本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法,P122. 2. 5. 10. 11. 16. 19, 20 , 25. 27.,,,本章作业,3,,,为了计算函数值或分析函数的性态, 必须首先产生函数可计算的近似式. 函数的插值与数据拟合的最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数据建立连续模型,为各种非有理函数提供好的逼近, 使它们既能达到精度要求, 又使计算量尽可能小. 插值与数据拟合是数值计算的最基本的内容, 这方面的研究无论是对实际应用还是对数值计算领域本身都是极为重要的.,请看下面的问题:,5,3.1 插值法,一、插值问题,,,6,------(1),这就是插值问题, (1)式为插值条件,,其插值函数的图象如图,,,7,,,8,二、插值多项式的存在唯一性,插值函数类: 多项式, 分段多项式, 有理函数, 样条函数, 三角多项式.,求插值多项式的方法称为多项式插值.,且满足,--------(2),--------(3),,,9,--------(4),上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式,,,10,定理1.,由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解,--------(2),--------(3),则满足插值条件,的插值多项式,存在且唯一.,虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法,,,11,三、Lagrange插值多项式,,,设,---------(5),12,-------(6),,,n+1次多项式,由待定系数法可求得:,-------(6),(请同学们思考),从而,,,14,其中,-------(6),-------(7),,,15,例1:,解:,,,16,且,在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值,,,17,Lagrange线性插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,,,18,例2.,解:,Lagrange插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,,,19,所以,,,20,,,21,3.2 插值多项式中的误差,一、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？,,,22,令,设,其中,,,23,,,,24,根据Rolle定理,,再由Rolle定理,,依此类推,,由于,因此,,,25,所以,定理1.,,,Lagrange型余项,26,设,则,,,27,例1:,解:,,,28,,,29,Lagrange插值多项式的缺点：,插值基函数计算复杂,高次插值的精度不一定高,如果增一个节点, 所有基函数必须重新计算,30,例2.,并作图比较.,解:,,,31,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,,,32,结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果 越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现 象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.,,,,,。