2.4 函数的极限的定义与基本理论,一、极限的定义,,问题:,如何用描述?,,,,,注1,注2,左极限,右极限,定义3.（函数的左右极限）,定理1,,,左右极限存在但不相等,,例1,证,二、函数极限的基本性质,,证明：,性质1.（唯一性）,证明：,性质2.（局部有界性）,性质3. (保序性),证明：,性质4.(保号性),证明：,,性质5(夹逼定理),,例2 求,,,,解：如图易得,三、极限的四则运算性质,定理1（函数极限四则运算性质）,,,例4 有理函数的极限,例8,,例9,定理2（复合函数的极限）,证明：,,,,,注,例5,,,复合函数求极限,,,复合函数求极限,复合函数求极限,,,定理3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系,四、海涅定理和柯西定理,证：,,,,,结论得证,例9,证,得证,证明：,定理4 ( 柯西收敛定理),,,,,,思考题目,用海涅定理重新证明： 函数极限的基本性质（唯一性、保序性）； 四则运算； 复合运算性质； 夹逼定理.,海涅 (Heine.H.E,18211881）德国数学家，是高斯、狄利克雷的学生.海涅在数学分析及应用数学方面有较大的成就，他阐述了一致收敛的概念，证明了连续函数的一致连续定理.他在证明函数的一致连续性时，利用了闭区间具有有限开覆盖的性质，较早地掌握了覆盖定理的意义.因此，这个定理后来称为海涅一波菜尔覆盖定理.,数学家介绍,五、小结,1、极限的定义,2、函数极限的性质,3、极限的四则运算性质,4、海涅定理和柯西定理,作业,习题2.4,1.(1),2.(3)(5),3.(3)(5),5,6,。