函数周期性和对称性（知识点，练习题）一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期二．重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期3、 若函数，则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期9、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；10、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0), 则f()=0.三 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称四 函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.五 函数周期性的性质：定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.例1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）.A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.20分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称. 在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图），且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( ) A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B练2.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 分析：，， ∴，则可能为5 ？例2．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.例3．，则，，，…，中最多有（ ）个不同的值.A.165 B.177 C.183 D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 练3：已知，，，…，，则（ ）.分析：由，可令x=f（x）知，，.为迭代周期函数，故，，即将x=-2带进原函数中练4：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .解：，，令，则，即有，令，则，其中，，，. 或有，得. 练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]故 f ( x ) 是奇函数六、抽象函数奇偶性的判定与证明例4.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得．七、利用函数奇偶性求函数解析式或求值练习：已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为例7已知函数，求+++的值解：由得函数的定义域是又成立，函数是奇函数+=0 +=0∴+++ =0例8设函数为奇函数，则－1解析:∵f(x)=, ∴f (－x)=－ 又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).∴=.∴ ∴a=－1. 练习：已知是 偶函数，定义域为，则，b=0解： ， ？3、设偶函数对任意，都有，且当时，,则的值为(D)A. B. C. D.解： 例13、已知是周期为4的偶函数，当时，，求，解：， 例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 D A．2 B．3 C．4 D．5解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为5.练习：1、已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则DA.f(6)＞f(7) B.f(6)＞f(9) C.f(7)＞f(9) D.f(7)＞f(10)解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析：∵f（x+2）=-f（x）.∴f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）.又-f（x）为R上的奇函数，∴f（2）=0 ∴f（6）=0. 3、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ D） A． B． C． D．（－2，2）解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.4、设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（ C）A.0 B.1 C. D.5解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）= 。