专题二 规律探索型问题,规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型． 1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题． 2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．,3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合． 4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．,2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数n看作自变量，把第n个图形的个数看作函数，设函数解析式为y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出a＝0就是一次函数)即可．,数字猜想型问题,【例1】 (2015·黔东南州)将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是____．,50,【点评】 本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．,数式规律型问题,【例2】 (2014·扬州)设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是________．,165,【点评】 本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．,[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算a399＋a400＝_______________________．,1.6×105或160000,图形规律型问题,【例3】 (2015·深圳)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有____个太阳．,21,【点评】 本题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．,[对应训练] 3．(1)(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有_______．,485,解析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3＋2＝17，第三个图形正三角形的个数为17×3＋2＝53，第四个图形正三角形的个数为53×3＋2＝161，第五个图形正三角形的个数为161×3＋2＝485.故答案为：485,(2)(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______________根火柴棒．(用含n的代数式表示),2n(n＋1),数形结合猜想型问题,a,17.5,【点评】 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目． [对应训练] 4．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f. (1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：,猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是____．(不需要证明) (2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．,解：(1)如表：,f＝m＋n－1 (2)当m，n不互质时，上述结论不成立，如图,。