上海市卢湾高级中学高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC中，，，若，则m+n=（ ）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由向量的运算法则和题设条件知==，所以，由此能得到m+n的值．【解答】解：∵，，∴，?，∵，∴==，∴，∴．∴．故选B．2. 设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则（ ）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c参考答案：D【考点】对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【分析】因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．【解答】解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．3. 设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，T = {3，6}，U(S∪T) =（ ）A． B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}参考答案：B4. 已知函数的图像如图，则有理数的大小关系是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。
参考答案：B5. 已知函数f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则a的取值范围（ ）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]参考答案：D【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令g（x）=x2﹣ax+3a，则函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求a的取值范围．【解答】解：令g（x）=x2﹣ax+3a，∵f（x）=log0.5（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减∴函数g（x）在区间[2，+∞）内单调递增，且恒大于0∴a≤2且g（2）＞0∴a≤4且4+a＞0∴﹣4＜a≤4故选D6. 有编号为1,2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是参考答案：B略7. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )A． B．C． D．参考答案：B略8. 已知，则在下列区间中，有实数解的是（ ）A、（－3，－2） B、（－1，0） C、（2，3） D、（4，5）参考答案：B9. 已知入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是 A． B． C． D．参考答案：B10. 在中，，则最短边的边长等于 （ ）A. B. C. D. 参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱锥中，正三角形中心为，边长为，面，垂足为的中点，与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．参考答案：40π根据题意得到将Q点竖直向上提起，从SA的中点M做一条中垂线，两者的交点即球心，根据长度关系得到三角形AMH和三角形OHQ是相似三角形，OA即是半径，根据勾股定理得到半径为10，故得到球的面积为40π. 12. 若函数在定义域内满足，且当时， ，则当时，的解析式是_________________________．参考答案：13. 是等差数列的前n项和,若,则当时,取最大值.参考答案：13略14. 已知幂函数为实常数）的图象过点(2，)，则= ▲ .参考答案：4略15. 已知指数函数的图像过点（1，2），求=__________________参考答案：816. 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离 ． 参考答案：17. 已知数列{an}的通项公式an=，若前n项和为6，则n= _________ ．参考答案：48三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （10分）已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=﹣1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x﹣1）﹣2．参考答案：考点： 抽象函数及其应用． 专题： 综合题；转化思想．分析： （1）给已知中的等式中的x，y都赋值3求出f（9）；给x，y都赋值求出f（3）．（2）利用函数单调性的定义证明，只要将，利用已知中的等式及x＞1时，函数值的符号证出．（3）将不等式中的﹣2用f（9）代替；利用已知等式将f（x﹣1）+f（9）用一个函数值f（9x﹣9）代替，利用函数的单调性脱去f，求出不等式的解集．解答： （1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=﹣2令x=y=得（2）证明：设0＜x1＜x2，x1，x2∈R+∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在R+上为减函数．（3）不等式等价于，解得1＜x＜3．点评： 本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出f（m）＞f（n）的形式．19. 已知函数.（1）把函数写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（3）利用图象回答：当实数为何值时，方程有一解？有两解？有三解？. 参考答案：解：（1）由得，由得 ∴；……6分（2）……………………………………………10分（3）由（1）得∴.当，，当， …………略20. (本题满分13)一个公差不为零的等差数列{an}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项. 记{an}各项和的值为S.⑴求S (用数字作答)；⑵若{bn}的末项不大于，求{bn}项数的最大值N；⑶记数列,.求数列的前项的和.参考答案：.解 (1)设的公差为(),由成等比数列,得 . 所以()-------------------------------------4分（2）由，所以由，所以的最大值为12.又，所以时，所以.------------------------------------8分(3) 得 =---------------------13分略21. 如图是函数的部分图象. （Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；（Ⅲ）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数k的取值范围．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）答案不唯一，具体见解析（Ⅲ）【分析】（1）根据图像先确定A,再确定，代入一个特殊点再确定。
2）根据（1）的结果结合图像即可解决3）根据（1）的结果以及三角函数的变换求出即可解决详解】解：（Ⅰ）由图可知：，即，又由图可知：是五点作图法中的第三点，，即． （Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.⑴当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； ⑵当时，方程在内有个实根为，故所有实数根之和为 ； ⑶当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ； 综上：当时，方程所有实数根之和为 ；当时，方程所有实数根之和为 ； （Ⅲ），函数的图象如图所示：则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，所以．【点睛】本题主要考查了正弦函数的变换，根据图像确定函数，方程与函数在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决本题属于中等题22. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E、F分别是BC、AC1、BB1的中点． （1）求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1； （2）求证：EF∥平面A1B1C1． 参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱底面ABC为正三角形，D是BC的中点，可得AD⊥BC，结合正三棱柱的几何特征，我们可得CC1⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCC1B1； 再由面面垂直的判定定理，即可得到答案． （2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G，根据三角形中位线定理可得EG平行且等于AA1平行且等于B1F，进而得到EF∥B1G，再由线面平行的判定定理，即可得到答案． 【解答】证明：（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵D是BC的中点，∴AD⊥BC 又CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1； 又∵AD?平面AC1D ∴平面AC1D⊥平面BCC1B1； （2）取A1C1的中点G，连接EG、B1G， ∵E、F分别是AC1、BB1的中点， ∴EG平行且等于AA1平行且等于B1F ∴四边形EFB1G为平行四边形， ∴EF∥B1G 又B1G?平面A1B1C1，∴EF∥平面A1B1C1． 【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．。