高数1.4教案

高 等 数 学徐屹 第 1 页 2018-2-14第四次课教学内容：无穷小，无穷大，极限运算法则教学目的：（1）了解无穷小概念及其与函数极限的关系（2） 了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系（3） 熟练掌握极限运算定理及其用法教学重点：无穷小的概念，极限四则运算教学难点：无穷小的概念，极限四则运算教学关键：极限四则运算的运用教学过程：一、无穷小与无穷大1、无穷小：定义 1、如果函数 当 为当()fx0)x或 （ 时 的 极 限 为 零 ， 那 么 称 函 数 ()fx时的无穷小0x或 （如 为无穷小2,sin,1costg时 ：如 为无穷小xe时 ，说明：1 任何一个非零常数都不是无穷小量2 一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关定理 1、在自变量的同一变化过程 中，函数 具有极限 A 的充分必要条件0x)x或 （ ()fx是 =A+ ，其中 是无穷小)fx2、无穷大如果当 时， 无限增大，则称函数 是当 时的无穷大量)(0)(f )(f )(0定义 2、设函数 在 的某一去心邻域有定义（或 大于某一正数时有定义） 如果对于任意fx0 |x给定的正数 M，总存在正数 （或正数 X） ，只要 适合不等式 （或 ） ，对0||x|xX应的函数值 总满足不等式 ，则称函数 为当 时的无穷大。

)f|()|fxM()f()或注意：无穷大与很大数的区别 3、 无穷小与无穷大的关系定理 2：在同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小：反之，如果 为无穷小，()f1()fx()fx且 ， ，则 为无穷大()fx01()fx例：当 时， 为无穷小， 为无穷大25215x说明：此定理只使用于同一变化过程无穷大不是数，不可与很大的数混为一谈例：下列函数在什么情况下为无穷小？在什么情况下为无穷大？1、 解： 时为无穷小，在 时为无穷大x112、 解： 时为无穷小， 为无穷大， 为无穷大lg0xx高 等 数 学徐屹 第 2 页 2018-2-143、 解： 为无穷小， 为无穷大2x20x二、极限运算的法则：定理 1、有限个无穷小的和也是无穷小定理 2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论 1、常数与无穷小的乘积是无穷小推论 2、有限个无穷小的乘积也是无穷小定理 3、如果 ， ，那么lim()fxAli()gxB（1） =A Bmgf（ ）（2） Aflilili（3）若又有 B ，则0()li()lifxfg推论 1、如果 存在，而 c 为常数，则lim()fxlim[()]li()fcfx推论 2、如果 存在，而 n 是正整数，则lifli[()][li()]nnfxf定理 4 设有数列{ }、{ }，如果nxyli,linnAyB那么：（1） lim)nAB（（2） xyg（（3）当 =0(1,2)0limn nL且 时 ， xyAB定理 5 如果 ，而 ， ，那么 a b)fli()fa()g例 1、 4(lim2x一般地，设有多项式： 011) xaaPnnL( bbQ则有： 01010)(li0 axxnn即： x同理可得： )())(lim00 QxPx高 等 数 学徐屹 第 3 页 2018-2-14例 2、求321lim5x分析：求有理函数（多项式）当 时的极限时，直接把 代入多项式即可0x0x此题直接代入为 73例 3、求2li1x解： =2limx221limlixx例 4、求 5213lix解：先用 除分母和分子，然后求极限，得 0212limli 323 xxxx结论：10 0,limmnx nnaabbL不 存 在 ，例 5、求 li(sarc)xtgx解：有界量与无穷小量的乘积任为无穷小量，所以原极限为 0例 6、 213lim4x解： 故原极限为2510x 例 7、 )31(lix例 8、 22nnL例 9、 1)(limx求极限的类型主要有： 0、、、、高 等 数 学徐屹 第 4 页 2018-2-14例 10、 nnx为 正 整 数 ）（1lim例 11、 1)(22x定理 6、复合函数的求导法则设函数 是由函数 复合而成的， 的某去心邻域[)]yfg(()yfugx与 函 数 0[()]fgx在 点内有定义，若 ，且存在00,li(li)x A00,,,()Uuo当 时 ， 有则 0lim[)])xuff。