线性代数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目的：通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相 似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似 于Jordan标准形. 教学要求：正确理解Jordan标准形的概念，掌握求一 个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法. 教学重点：求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准 形的方法. 教学难点：化方阵为Jordan标准形. 教学时间：2学时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *§6 Jordan标准形简介 第五章 *§6 Jordan标准形简介 我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都 能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简 形是否存在?如果存在又取何种形式？Jordan标准形的相关 结果就完美地回答了这一问题. Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限 于需要和可能，我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论 的主要结果及Jordan标准形的具体求法. 6.1多项式矩阵及其初等变换 定义6.1 如果矩阵中每个元素都是变量λ的多项式，则 称该多项式为λ的多项式矩阵，简称λ-矩阵. 元素是数的矩阵称为数元矩阵，数元矩阵是特殊的多 项式矩阵. 第五章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义6.2 对多项式矩阵A(λ)的如下三种变换统称为初等 变换. i）用一个非零数k乘A(λ)的某行（列）； ii）将A(λ)中的某行(列)的g(λ)倍加于另一行(列)(其中 g(λ)是的λ多项式)； iii）互换A(λ)的两行(列). 定义6.3 设A(λ)和B(λ)是两个同型的多项式矩阵，如果 A(λ)可以经过有限次初等变换化为B(λ)，则说A(λ) 与B(λ) 等价，记作A(λ) B(λ). 对于n阶数元矩阵A，其特征矩阵λE-A是一个特定的多 项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6.1 对于n阶数元矩阵A ，总有 其中g1(λ), g2(λ),…, gn(λ)都是首项系数为1的多项式.并且 |λE-A|= g1(λ) g2(λ) …gn(λ). （*） 由于λE-A经过有限次的初等变换得到G(λ)，根据初等 变换对矩阵相应行列式的影响，可知|G(λ)|与|λE-A|最多相 差非零常数倍.再注意到|G(λ)|与|λE-A|都是首项系数为1的 多项式，便知（*）成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义6.4 对于n阶数元矩阵A ，设λE-A经过初等变换 化为对角矩阵G(λ).将g1(λ), g2(λ),…, gn(λ)中的每个非常数多 项式做复数域上的标准分解，各分解式中的每一个一次因 式方幂称为矩阵A的一个初等因子，初等因子的全体成为A 的初等因子组. 例如，对于2阶数元矩阵A，若有 则A的初等因子组为 λ ， λ-1， λ，( λ-1)2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义6.4 及（*）知： 1）方阵A的所有初等因子的乘积就是A的特征多项式； 2）每个初等因子都和矩阵A的某个特征值相应，即如 果 是A的一个初等因子,则λi一定是A的一个特征值 ； 3）n阶方阵A的所有初等因子幂次之和恰为n. 在此必须指出:方阵A与某一特征值相应的初等因子未 必只有一个.因此,一般不能从A的特征多项式的标准分解式 直接得到初等因子组为 为求给定方阵A的初等因子组，需要对特征矩阵λE-A 进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并 不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢？可以证明， 在不计各初等因子组相互次序的意义下，给定方阵A的初 等因子组是惟一的，不会因为λE-A所化成的对角矩阵不同 而有所改变. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.1 求矩阵 的初等因子组. 解 对λE-A进行初等变换如下： 由此得A的初等因子为：(λ-1)2, λ-5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2 矩阵的Jordan标准形 定理6.2 在复数域上,如果n阶矩阵A的全部初等因子为 则 其中 定理6.2中的分块对角矩阵J称为A的Jordan标准形,简称为 Jordan形. Jordan形J中的各个小块J1,J2,…,Js称为Jordan块. 显然,每个Jordan块Ji恰于A的一个初等因子 相对应 . 在例6.1中，矩阵A的初等因子组为(λ-1), λ-5,与之相应 的两个Jordan块为 于是A的Jordan标准形为 亦可以写成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.2 求矩阵 的Jordan标准形. 解对A的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与两个初等因子相应的Jordan小块分别为 对所得的对角矩阵主对角元素的非常数多项式进行复数域 上的标准分解，可得A的初等因子组为 λ ， (λ+1)2. 于是可得A的Jordan标准形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.3 求矩阵 的Jordan标准形. 解 对的特征矩阵λE-A进行初等变换化为对角矩阵， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A的初等因子组为 λ ，λ-1， (λ-1)2. 于是得A的Jordan标准形 10 对于给定的方阵A，在不计各Jordan块排列次序的 意义下，A的Jordan标准形是惟一的. 20 方阵A的Jordan标准形J是上三角形矩阵，其主对角 线上的元素恰是A的特征值. 30 对角矩阵本身即是Jordan形，它的每一个对角元都 是一个一阶的Jordan块. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6.3 两个同阶方阵相似的充分必要条件是它们的 Jordan形一致（这里“一致”的含义是可以经过Jordan块排列 次序的调整而得到的相同的Jordan形）. 证明 必要性.设A~B，则有可逆矩阵P使P-1AP=B.于是 P-1(λE-A)P= λ P-1P- P-1AP= λE-B. 这说明λE-A与λE-B等价,它们可以经初等变换化为同一对角 矩阵G(λ).因此A与B的初等因子组一致，进而Jordan形一致. 充分性.不妨设A与B的Jordan形同为J，则A、B同于J 相似，因而A~B. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6.4 矩阵A能与对角矩阵相似的充分必要条件是 它的初等因子全为一次式. 证明 若A相似于对角矩阵 则∧已是A的Jordan标准形.可见A的初等因子组为 λ-λ1， λ-λ2，…， λ-λn . 它们全为一次式. 反之,若A的初等因子全为一次式,则A的所有的Jordan 块全为一阶，A的Jordan形显然为对角矩阵.它当然与A相 似. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.4 证明:如果n阶矩阵A的全部特征值是λ1, λ2,… ,λn, 则矩阵Am的全部特征值恰是λ1m, λ2m,… ,λnm(这里λ1, λ2,… ,λn 中可以有一些相同的数 ). 证明 不妨设特征值λ1, λ2,… ,λn中相同的都顺序相邻,并 设A的Jordan形为 由A~J可知Am~Jm.利用上三角形矩阵幂运算的结果可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Jm是上三角形矩阵,它的全部特征值就是全部主对角元λ1m, λ2m,… ,λnm.这也就是A的全部特征值. 与例6.4类似,可得如下定理: 定理6.5 (Frobenius)设n阶矩阵A的全部特征值是λ1, λ2, … ,λn,则对任意多项式f(λ),矩阵f(A)的全部特征值恰是f(λ1), f(λ2),…, f(λn). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结： 1、方阵化成对角矩阵和化成化Jordan标准形的条件. 2、化Jordan标准形和化对角矩阵的区别与联系. 作业: 第5章标准化作业. 。