§1.1.1§1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P3，找出疑惑之处） 讨论：军训前学校通知：8 月 15 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这 个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不 是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合， 即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上， 它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参 阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：考察几组对象： ① 1～20 以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形； ④ 2x, 32x , 35yx, 22xy； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230xx的所有实数根； ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车； ⑧ 2008 年 8 月，广东所有出生婴儿. 试回答： 各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知 1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合 （set）.试试 1：探究 1 中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究 2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知 2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两 种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试 2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式30x 的解； ② 3 的倍数； ③ 方程2210xx 的解； ④ a，b，c，x，y，z； ⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为 10 cm的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知 3：集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.试试 3： 设B表示“5 以内的自然数”组成的集合，则 5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知 4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作 N； 正整数集：所有正整数的集合，记作 N*或 N+；整数集：全体整数的集合，记作 Z； 有理数集：全体有理数的集合，记作 Q； 实数集：全体实数的集合，记作 R.试试 4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， 3 Q，32 R. 探究 5：探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语 言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知 5：列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举 法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合： ① 15 以内质数的集合； ② 方程2(1)0x x 的所有实数根组成的集合；③ 一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数yx的图象与二次函数2yx的图象的交点”组成的集合.三、总结提升 ※ 学习小结 ①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举 法.※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的. 1874 年康托尔提出“集合”的概念： 把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一 个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于 1873 年 12 月 7 日给戴德金的信中 最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列说法正确的是（）. A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1 3 611,0.5,,,,2 2 44这六个数能组成一个集合2. 给出下列关系：① 1 2R；② 2Q；③3N ；④3.Q其中正确的个数为（ ）. A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 3. 直线21yx与y轴的交点所组成的集合为（ ）.A. {0,1} B. {(0,1)} C. 1{,0}2 D. 1{(,0)}24. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳 A； 广州 A. （填∈或） 5. “方程230xx的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.课后作业 1. 用列举法表示下列集合： （1）由小于 10 的所有质数组成的集合； （2）10 的所有正约数组成的集合； （3）方程2100xx的所有实数根组成的集合.2. 设x∈R，集合2{3, ,2 }Ax xx. （1）求元素x所应满足的条件； （2）若2A ，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.学习过程 一、课前准备 （预习教材P4~ P5，找出疑惑之处） 复习 1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 . 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 .复习 2：集合2{21}Axx的元素是 ，若 1∈A，则x= .复习 3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学 ※ 学习探究 思考： ① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？ ② 你能用列举法表示不等式13x 的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x 的根}； ② { 1,1}；③ 2{|10}xR x .新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{| }xA P，其 中x代表元素，P是确定条件.试试：方程230x 的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x 的所有实数根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合. （1）方程340xx的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.小结： 用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，xR、xZ明确时可省略，例如 { |21,}x xkkZ,{ |0}x x .例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线21yx上的所有点组成的集合；（2）方程组322 2327xy xy 解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{( , )|1}x yyx；（2）2{ |1}y yx；（3）2{ |1}x yx. 反思与小结： ① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{( , )|1}x yyx与2{ |1}y yx不 同. ② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{ |1}x x ，{ |3 ,}x xk kZ. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集 Z，所以不必写{全体整 数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合 中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试 练 1. 用适当的方法表示集合：大于 0 的所有奇数.练 2. 已知集合{ | 33,}AxxxZ ，集合2{( , )|1,}Bx yyxxA. 试用列举法分别 表示集合A、B.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法） ； 2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如： （1）所有直角三角形的集合可以表示为：{ |}x x是直角三角形 ，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{( , )|1}x yyx与集合2{ |1}y yx是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 设{|16}AxNx，则下列正确的是（ ）.A. 6A B. 0AC. 3A D. 3.5A 2. 下列说法正确的是（ ）.A.不等式253x 的解集表示为{4}x B.所有偶数的集合表示为{ |2 }x xkC.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x 实数根的集合表示为{( 2,2)}3. 一次函数3yx与2yx 的图象的交点组成的集合是（ ）.A. {1, 2} B. {1,2}xy C. {( 2,1)} D. 3{( , )|}2yxx yyx 4. 用列举法表示集合{|510}AxZx为. 5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， 2{ |650}Bx xx，用∈或填空：4 A，4 B，5 A，5 B.课后作业 1. （1）设集合{( , )|6,,}Ax yxyxN yN ，试用列举法表示集合A. （2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3 的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的 集合.2. 若集合{ 1,3}A ，集合2{ |0}Bx xaxb，且AB，求实数a、b.。