1二次函数二次函数一、选择题：1.抛物线3)2(2 xy的对称轴是（）A. 直线3xB. 直线3xC. 直线2xD. 直线2x2.二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（）A.042 acbB.042 acbC.042 acbD.acb42≤04.把抛物线cbxxy2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是532xxy，则有（）A.3b，7cB.9b，15cC.3b，3cD.9b，21c5.已 知 反 比 例 函 数xky 的 图 象 如 右 图 所 示 ， 则 二 次 函 数222kxkxy的图象大致为（） O x y A O x y B O x y C O x y D 6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cxcaaxy)(2与一次函数caxy的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） O x y O x y 2 O x y A O x y B O x y C O x y D 7.抛物线322xxy的对称轴是直线（）A.2xB.2xC.1xD.1x8.二次函数2) 1(2 xy的最小值是（）A.2B. 2C.1D. 19.二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 如 图 所 示 ， 若cbaM24cbaN，baP 4，则（）A.0M，0N，0PB.0M，0N，0PC.0M，0N，0PD.0M，0N，0P二、填空题：10. 将二次函数322xxy配方成khxy2)(的形式，则 y=______________________.11. 已知抛物线cbxaxy2与 x 轴有两个交点， 那么一元二次方程02cbxax的根的情况是______________________.12. 已知抛物线cxaxy2与 x 轴交点的横坐标为1，则ca =_________.13. 请你写出函数2) 1( xy与12 xy具有的一个共同性质：_______________.14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4x；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15. 已知二次函数的图象开口向上， 且与 y 轴的正半轴相交， 请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________. 2 1 -1 O x y 316. 如图，抛物线的对称轴是1x，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是)0 ,3(，则 A 点的坐标是________________. O x y A B 1 1 16 题图 三、解答题：1.已知函数12bxxy的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0x时，求使 y≥2 的 x 的取值范围.2.如右图，抛物线nxxy52经过点)0, 1 (A，与 y轴交于点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点 P 的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象 （部分） 刻画了该公司年初以来累积利润 s （万元） 与销售时间 t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式； O x y 1 -1 B A 4（2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？提高题1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升 3m 时，水面 CD 的宽是 10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计） . 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地， 当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为 x（元） ，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为 y（元）.（1）用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式；（3） 当月租金分别为 4300 元和 350 元时， 租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成abacabxy44)2(22的形式，并据此说明：当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？ 5参考答案参考答案一、选择题：题号123456789答案DDAADDDBD二、填空题：1.2) 1(2 xy2. 有两个不相等的实数根3. 14. （1）图象都是抛物线； （2）开口向上； （3）都有最低点（或最小值）5.358512xxy或358512xxy或178712xxy或178712xxy6.122xxy等（只须0a，0c）7.)0,32( 8.3x，51 x，1，4三、解答题：1. 解： （1）∵函数12bxxy的图象经过点（3，2） ，∴2139 b. 解得2b.∴函数解析式为122xxy.（2）当3x时，2y.根据图象知当 x≥3 时，y≥2.∴当0x时，使 y≥2 的 x 的取值范围是 x≥3.2. 解： （1）由题意得051n. ∴4n. ∴抛物线的解析式为452xxy.（2）∵点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为)4, 0(.∴OA=1，OB=4.在 Rt△OAB 中，1722OBOAAB，且点 P 在 y 轴正半轴上.①当 PB=PA 时，17PB. ∴417 OBPBOP. 6此时点 P 的坐标为)417, 0(.②当 PA=AB 时，OP=OB=4此时点 P 的坐标为（0，4）.3. 解： （1）设 s 与 t 的函数关系式为cbtats2，由题意得；5 . 2525, 224, 5 . 1cbacbacba或. 0, 224, 5 . 1ccbacba解得. 0, 2,21cba∴tts2212.（2）把 s=30 代入tts2212，得.221302tt解得101t，62t（舍去）答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把7t代入，得. 5 .10727212s把8t代入，得.16828212s5 . 55 .1016.答：第 8 个月获利润 5.5 万元.4. 解： （1）由于顶点在 y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092 axy.因为点)0,25(A或)0,25(B在抛物线上，所以109)25( ·02 a，得12518a.因此所求函数解析式为109125182xy（25≤x≤25）.（2）因为点 D、E 的纵坐标为209，所以10912518209，得245x.所以点 D 的坐标为)209,245(，点 E 的坐标为)209,245(.所以225)245(245DE.因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501. 01100225（米）.5. 解： （1）∵AB=3，21xx ，∴312 xx. 由根与系数的关系有121 xx.∴11x，22x. 7∴OA=1，OB=2，2·21amxx.∵1tantanABCBAC，∴1OBOCOAOC.∴OC=2. ∴2m,1a.∴此二次函数的解析式为22xxy.（2）在第一象限，抛物线上存在一点 P，使 S△PAC=6.解法一：过点 P 作直线 MN∥AC，交 x 轴于点 M，交 y 轴于 N，连结 PA、PC、MC、NA.∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.由（1）有 OA=1，OC=2.∴6121221CNAM. ∴AM=6，CN=12.∴M（5，0） ，N（0，10）.∴直线 MN 的解析式为102 xy.由, 2,1022xxyxy得；4311yx18, 422yx（舍去）∴在 第一象限，抛物线上存在点)4, 3(P，使 S△PAC=6.解法二：设 AP 与 y 轴交于点), 0(mD（m>0）∴直线 AP 的解析式为mmxy.., 22mmxyxxy∴02) 1(2mxmx.∴1mxxPA，∴2 mxP. O A B M x P N y C 8又 S△PAC= S△ADC+ S△PDC=PxCDAOCD·21·21=)(21PxAOCD.∴6)21)(2(21mm，0652 mm∴6m（舍去）或1m.∴在 第一象限，抛物线上存在点)4, 3(P，使 S△PAC=6.提高题1. 解： （1）∵抛物线cbxxy2与 x 轴只有一个交点，∴方程02cbxx有两个相等的实数根，即042 cb. ①又点 A 的坐标为（2，0） ，∴024cb. ②由①②得4b，4a.（2）由（1）得抛物线的解析式为442xxy.当0x时，4y. ∴点 B 的坐标为（0，4）.在 Rt△OAB 中，OA=2，OB=4，得5222OBOAAB.∴△OAB 的周长为5265241.2. 解： （1）76)34()10710710(1022xxxxxS.当3) 1(26x时，16) 1(467) 1(42最大S.∴当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是 16 万元.（2）用于投资的资金是13316万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取 A、B、E 各一股，投入资金为13625（万元） ，收益为 0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元） ；另一种是取 B、D、E 各一股，投入资金为 2+4+6=12（万元）<13（万元） ，收益为 0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.3. 解：（1） 设抛物线的解析式为2axy ， 桥拱最高点到水面 CD 的距离为 h 米， 则), 5(hD，)3,10(hB. 9∴. 3100,25haha解得. 1,251ha∴抛物线的解析式为2251xy.（2）水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 1÷0.25=4（小时） ，货车按原来速度行驶的路程为 40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到 x 千米/时，当2801404x时，60x.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过 60 千米/时.4. 解： （1）未出租的设备为10270x套，所有未出租设备的支出为)5402(x元.（2）54065101)5402()1027040(2xxxxxy.∴540651012xxy.（说明：此处不要写出 x 的取值范围）（3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 37 套；当月租金为350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 32 套.因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租 32 套；如果考虑市场占有率，应选择出租 37 套.（4）5 .11102)325(1015406510122xxxy.∴当325x时，y 有最大值 11102.5. 但是，当月租金为 325 元时，租出设备套数为 34.5，而34.5 不是整数，故租出设备应为 34 套或 35 套. 即当月租金为为 330 元（租出 34 套）或月租金为 320 元（租出 35 套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100 元. 10二次函数测试题（二次函数测试题（B B））一、选择题(每小题 4 分，共 24 分)1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是()(A)没有交点．(B)只有一个交点．(C)有且只有两个交点．(D)有且只有三个交点．2．已知直线y=x与二次函数y=ax2－2x－1 图象的一个交点的横坐标为 1，则a的值为()(A)2．(B)1．(C)3．(D)4．3． 二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y轴于点C， 则△ABC的面积为()(A)6．(B)4．(C)3．(D)1．4． 函数y=ax2＋bx＋c中， 若a＞0，b＜0，c＜0， 则这个函数图象与x轴的交点情况是()(A)没有交点．(B)有两个交点，都在x轴的正半轴．(C)有两个交点，都在x轴的负半轴．(D)一个在x轴的正半轴，另一个在x轴的负半轴．5．已知(2，5)、(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是()(A)x=ab．(B)x=2．(C)x=4．(D)x=3．6．已知函数y=ax2＋bx＋c的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋b图象的只可能是()图 1二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是______．8．某二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为______． 119．若函数y=－x2＋4 的函数值y＞0，则自变量x的取值范围是______．10．某品牌电饭锅成本价为 70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定 价（元）100110120130140150销 量（个）801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax2－(a－3)x＋1 的图象与x轴只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为______．12．某涵洞是一抛物线形,它的截面如图 3 所示,现测得水面宽1.6ABm,涵洞顶点 O 到水面的距离为2.4m,在图中的直角坐标系内,涵洞所在抛物线的解析式为________.三、解答题(本大题共 52 分)13． （本题 8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B两点的直线的解析式．14． （本题 8 分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2 的一部分如图 3 所示，求该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标． 12图 315．（本题 8 分）如图 4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点是C(0，1)，直线l：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P到x轴的距离为 2．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)求点Q的坐标．图 416． （本题 8 分）工艺商场以每件 155 元购进一批工艺品．若按每件 200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4件． 问每件工艺品降价多少元出售， 每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17． (本题10分)) 杭州休博会期间， 嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施． 若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收 33 万元．而该游乐设施开放后，从第 1 个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？ 1318（本题 10 分）如图所示，图 4-①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为 30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5之间的距离均为15m，B1B5∥A1A5，将抛物线放在图 4-②所示的直角坐标系中．(1)直接写出图 4-②中点B1、B3、B5的坐标；(2)求图 4-②中抛物线的函数表达式；(3)求图 4-①中支柱A2B2、A4B4的长度．图 4-①图 4-②四、附加题（本题为探究题 20 分，不计入总分）19、 (湘西自治州附加题，有改动)如图 5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P(m，0)段OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直．(1)设△OAB中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2)试问是否存在点P，使直线l平分△OAB的面积？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由．图 5 14参考答案一、1．B2．D3．C4．D5．D 6．B二、7．3 8．y=－x2＋3x＋49．－2＜x＜210．13011．a=0，(13，0)；a=1，(－1，0)；a=9，(13，0)12．2154yx 三、13．抛物线的顶点为(1，－3)，点B的坐标为(0，－2)．直线AB的解析式为y=－x－214．依题意可知抛物线经过点(1，0)．于是a＋2a＋a2＋2=0，解得a1=－1，a2=－2．当a=－1 或a=－2 时，求得抛物线与x轴的另一交点坐标均为(－3，0)15．(1)依题意可知b=0，c=1，且当y=2 时，ax2＋1=2①，－ax＋3=2②．由①、②解得a=1，x=1．故抛物线与直线的解析式分别为：y=x2＋1，y=－x＋3；(2)Q(－2，5)16．设降价x元时，获得的利润为y元．则依意可得y=(45－x)(100＋4x)=－4x2＋80x＋4500，即y=－4(x－10)2＋4900．故当x=10 时，y最大=4900(元)17．(1)将(1，2)和(2，6)代入y=ax2＋bx，求得a=b=1．故y=x2＋x；(2)g=33x－150－y，即g=－x2＋32x－150；(3)因y=－(x－16)2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令g=0，得－x2＋32x－150=0．解得x=16±106，x≈16－10.3=5.7(舍去 26.3)．当x=5 时，g＜0， 当x=6 时，g＞0，故 6 个月后，能收回投资18． （1）1( 30)B ，0，3(0 30)B，，5(30 0)B，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)ya xx，把3(0 30)B，代入得(030)(030)30ya．130a ∴．∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30yxx ．（3）4B∵点的横坐标为 15，4B∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y ．3350A B ∵，拱高为 30， 15∴立柱44458520(m)22A B ．由对称性知：224485(m)2A BA B．四、19．(1)当 0≤m≤2 时，S=212m；当 2＜m≤3 时，S=12×3×2－12(3－m)(－2m＋6)=－m2＋6m－6．(2)若有这样的P点，使直线l平分△OAB的面积，很显然 0＜m＜2．由于△OAB的面积等于 3，故当l平分△OAB面积时，S=32．21322m ∴．解得m=3．故存在这样的P点，使l平分△OAB的面积．且点P的坐标为(3，0)． 。