第五节 极限运算法则,本节概要,由于初等函数由基本初等函数经四则运算 和复合运算构成，而微积分以极限为工具研究 初等函数，故在微积分中主要讨论极限的四则 运算和复合运算 由极限与无穷小的关系，极限运算的讨论 可归结为无穷小运算的讨论极限理论可分为两个部分，一是极限概念，二是极 限计算在理解极限概念的基础上，可进一步讨论极限 的计算问题 利用极限与无穷小的关系，由无穷小的代数运算性 质可方便地导出极限的四则运算法则利用极限的四则 运算法则可将初等函数的极限 计算问题转化为基本初等函数 的极限计算从而只需求出基 本初等函数的极限就可计算出 相当一部分初等函数的极限如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，则 lim f( x ) g( x ) 存在，且有 lim f( x ) g( x )= AB = lim f( x ) lim g( x ).,(1) 函数和的极限,(2) 关于定理 1 意义的分析和讨论,对定理 1 条件的理解,定理 1 的条件为，在自变量同一变化过程中，两个 单项极限均存在，即 lim f( x )= A，lim g( x )= B . 只有在两个单项极限都存在的条件下，两极限的和 lim f( x ) lim g( x )才有意义。
此时才能考虑极限和是 否等于和的极限的问题反之，若两个单项极限有一个 不存在，则极限和 lim f( x ) lim g( x ) 没有意义，自然也没有确定结果，但此 时两函数和的极限 lim f( x ) g( x ) 却可以有意义，也可能存在定理结论可分为定性和定量的两个部分 定性结论是：和的极限 lim f( x ) g( x )存在 此结论通常用于判别和函数极限的存在性 定量结论是：和的极限等于极限的和，即 lim f( x ) g( x ) = lim f( x ) lim g( x ). 此结论通常用于和函数极限的计算对定理 1 结论的理解,由归纳法原理，定理 1 可推广至有限多个函数的和 的情形，即 如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1,2,,n )，则 存在，且有 需注意的是，定理 1 的结论 不能推广至无穷多个函数和的情 形，即无穷多个函数的和的极限 未必等于各函数极限的和定理 1 的推广,,例：求极限 这是 n - 1 项的和的求极限问题，当 n 时， 就成了无穷多项和的极限问题 对此和式中的任一项 容易求得有 那么是否有,,,,,,,,,,,,,三角形面积可近似地表为各小矩形面积之和,为应用和的极限运算法则进行计算，可考虑将给 定的无穷和转化为有限和。
因为,,(3) 函数乘积的极限,如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，则 lim f( x ) g( x ) 存在，且有 lim f( x ) g( x )= AB = lim f( x ) lim g( x ).,按条件，由极限与无穷小的关系有 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )， 其中 lim ( x )= 0， lim ( x )= 0 . 对不受极限号约束的函数形式有 f( x ) g( x )= A + ( x ) B + ( x ) = A B + A( x )+ B ( x )+ ( x ) ( x ) . 由无穷小的运算性质知 ( x )= A( x )+ B ( x )+ ( x ) ( x )为无穷小， 故有 f( x ) g( x )= A B + ( x )，lim ( x )= 0 . 即 lim f( x ) g( x ) = A B = lim f( x ) lim g( x ).,,,由归纳法原理，定理 2 可推广至有限多个函数的乘 积的情形，即 如果 lim fi( x )= A i ，( i = 1,2,,n )，则 存在，且有 需注意的是，定理 2 不能推 广至无穷多个函数的乘积情形， 即无穷多个函数的乘积的极限未 必等于各函数极限的乘积。
定理 2 的推广,,如果 lim f( x )存在，而 n 为正整数，则 lim f ( x )n = lim f( x )n . 如果 lim f ( x )存在，而 C 为常数，则 lim C f( x )= C lim f( x ).,推论1 f( x )g( x ) 推论2 g( x )C,对初等函数的讨论，所遇到的幂函数指数常常不 一定是正整数，因此推论 1 的应用会出现一些问题 由复合函数的极限运算性质还可得到如下更具一 般性的结果： 若 lim f( x )= A 0 ，则对一切实数 有 lim f ( x ) = lim f ( x ) .,(5) 函数商的极限,如果 lim f( x )= A，lim g( x )= B ，且 B 0，则 由极限与无穷小的关系，为证明此商的极限运 算法则，可设法证明在自变量的一定趋向下 为无穷小 为证 ( x )为无穷小，首先需使 ( x )有意义，即使 g( x )在自变量的相应趋向下没有零点证明 x x 0 时的情形 因为 由局部保号性定理可推出， 存在 1 0 ，使得当 0
因为 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )，其中,,由无穷小的性质知，当 x x 0 时，B( x )+ A( x ) 为无穷小，故要证 ( x )为无穷小，只需证 在点 x 0 的某邻域内有界 因为当 x x 0 时，( x )为无穷小，由极限定义知 对 ，存在满足条件 1 2 0 的 2，使 得当 0 < x - x 0< 2 时有,,于是有 即当 0 < x - x 0< 2 时 有界 从而当 x x 0 时 为无穷小 由极限与无穷小的关系知,证明 x 时的情形 因为 由局部保号性定理可推出， 存在 X 1 0 ，使得当 x X 1 时 从而当 x X 1 时， 总有意义 因为 f( x )= A + ( x )，g( x )= B + ( x )，其中,,由无穷小的性质知，当 x 时，B( x )+ A( x ) 为无穷小，故要证 ( x )为无穷小，只需证 在当 x 的充分大时有界 因为当 x 时，( x )为无穷小，由极限定义知 对 ，存在满足条件 X 2 X 1 0 的 X 2， 使得当 x X 2 时有,,于是有 即当 x X 2 时 有界。
从而当 x 时 为无穷小 由极限与无穷小的关系知,如果 ( x ) ( x )，而 lim ( x )= a , lim( x )= b , 那么 a b . 如果将定理 1 3 理解成在等式两边实施极限 运算的条件和规则的话，定理 4 则可理解成在不等式两 边实施极限运算的条件和规则，即如果 ( x ) ( x )，而 lim ( x ) , lim( x )存在，则可 在不等式 ( x ) ( x )两边取极限，且有 lim( x ) lim ( x ) .,,作辅助函数 f( x )= ( x )- ( x ). 由和的极限运算法则有 lim f( x )= lim ( x )- ( x ) = lim ( x )- lim ( x )= a - b . 由条件知 f( x )= ( x )- ( x ) 0， 故由局部保号性定理推论有 lim f( x ) 0， 即有 a - b 0，因此 a b .,,条件 ( x ) ( x )仅是局部性的要求，并非要求 在函数 ( x )、 ( x )的定义域内恒成立，方可在其两 边取极限。
对 x x 0 的情形，不等式 ( x ) ( x )仅要求在 点x 0 的某空心邻域内成立即可 对 x 的情形，不等式 ( x ) ( x )仅要求对 某个正数 X，当 x X 时成立即可对定理 4 条件的理解,定理 4 可理解为在不等式两边取极限的运算条件 和规则，需注意的是，若将条件改成 ( x ) ( x )， 定理结果仍为 a b，即 如果 ( x ) ( x )，而 lim ( x )= a , lim( x )= b , 那么 a b . 不能将此定理想当然地推广为 如果 ( x ) ( x )，而 lim ( x )= a , lim( x )= b , 那么 a b .,对定理 4 结论的理解,例：设 ( x )= x 4 + x 2 +1，( x )= x 2 +1， 由极限运算法则容易求得 结果分析： 由给定函数表达式易见，当 x 0 时有 x 4 + x 2 +1 = ( x ) ( x )= x 2 +1， 因此由 ( x ) ( x )只能导出 lim( x ) lim ( x ).,,用极限四则运算法则讨论和计算函数极限，首先需 注意的是，这些法则都是在一定条件下成立的，应用时 应注意考察相应条件是否满足。
只有当运算法则条件满 足时，才能应用这些法则进行计算 然而，对于某些极限，尽管其不满足运算法则的条 件，极限却仍可能存在因此， 从计算角度可将极限可分为两 类，一类称之为“定式”，一 类称之为“不定式”所谓“定式”就是满足极限运算法则条件的极限式, 而“不定式”则是指虽不满足极限运算法则条件，但其 极限仍可能存在的那类极限式 对于“定式”，只需按极限运算法则计算就可以 了，而对于“不定式”，通常不能直接根据法则计算， 而需先对给定“不定式”进行适当的 变形或转化，使其满足运算法则条件， 再考虑按极限运算法则进行计算 由于“定式”计算相对简单， 所以极限计算主要研究“不定式” 的计算1) 定式极限的计算,例：求极限 对此三次多项式的极限计算， 由极限的加法及乘 法运算法则有 需注意的是：此处计算的是三次多项式的极限值， 而不是函数值，即并不是将 x = 1 代入该三次多项式求 得的值由于多项式总是经由加法和乘法运算构成的，因此 本例的计算过程也适用于一般多项式在一点 x 0 处的极 限的计算对于一般的多项式 P n( x )= a 0 x n + a1 x n -1 + + a n -1 x + a n， 求其在一点 x = x 0 处的极限 可作如下计算 因为对 1 k n 有 于是由极限运算法则有,例：求极限 对此分式的极限， 考虑由极限的运算法则进行计 算，为此先验证商的极限运算法则条件是否满足。
因为 因此由商的极限运算法则有,,,由于有理分式函数总是经由加、减、乘、除四种运 算构成的，因此本例的计算过程也适用于一般有理分式 函数在一点 x 0 处的极限计算 对于一般的有理分式函数 P m( x )= a 0 x m + a1 x m- 1 + + a m - 1 x + a m， Q n( x )= b 0 x n + b 1 x n - 1 + + b n - 1 x + b n，Q n( x0 ) 0 , 求其在一点 x = x 0 处的极限 可作如下计算 由于 故由商的极限法则有,由上计算看出，对有理函数 f( x )而言，只要 f( x ) 在点 x 0 处有定义，则当 x x 0 时，f( x )的极限必存在, 且其极限值等于 f( x )在点 x 0 处的函数值 此处不加证明地指出：一切基本初等函数在其定 义域内都具有这样的性质，即若 f( x )是基本初等函数, 其定义域为 D f ，。