一副三角板拼出的中考题将一副三角板（也叫三角尺）（分别含30°和45°角的直角三角形）进行拼接可以拼出许许多多、形形色色的数学题，这些题目内容丰富，多彩多姿，令人赏心悦目，回味无穷．请看以下例子．例1 将两块三角尺的直角顶点重合为如图1所示的形状，若∠AOD＝127°，则∠BOC＝＿＿＿．Ｏ图1ＤＢＣＡ分析：设∠BOC＝x，∠AOC＝m，∠BOD＝ｎ，则易知，解得x＝53°．注：本题也可以直接由∠BOC＝∠AOB＋∠COD－∠AOD＝180°－127°＝53°．Ｏ图2ＣＢＤＡ例2 如图2将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠BOD的度数是＿＿＿度．分析：注意∠AOC＝∠AOD＋∠DOC＝∠AOD＋90°，∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝90°－∠AOD，故，∠AOC＋∠BOD＝180°．例3三角函数 将一副三角尺如图3摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的余切值．图3ＣＢＤＡＨ分析：从图中可见这是一副大小特殊的三角板，含30°那一块的60°角所对的直角边恰好是等腰那一块的斜边．要求∠ADB的余切，应设法构造以该角为锐角的直角三角形．作AＨ⊥直线BD于Ｈ，则易知AＨ＝BＨ（设＝１），从而AB＝，BC＝AB＝＝BD，故BD＝，DＨ＝１＋，所以COｔ∠ADB＝＝１＋．Ｆ图4ＢＥＢＣＡＤ例4 将两块三角板如图4放置，其中∠C＝∠EDB＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，AB＝DE＝6，求重叠部分四边形DBCF的面积．分析：四边形DBCF的面积等于三角形ABC的面积减去三角形ADF的面积．易知DF＝AD＝AB－BD＝6－2，所以，四边形DBCF的面积等于9－＝9－＝12－15．例析以“三角板”为道具导演的三角形的全等问题ABCEFG图1-2DABCDEFG图1-3ABCFG图1-1江苏省丰县中学 王锋 浏览近年的中考试卷，不难发现有一个备受关注命题焦点——将一副三角板按某种方式巧妙地拼合在一起，然后平移、旋转三角板，使图形的相对位置不断发生变化（但其中隐含的与结论有关的三角形的全等关系不变），让学生在“运动变化的几何图形”中，感悟、猜想、验证几何图形所具有性质的“变”与“不变”.此类问题常常先设置一个让学生探索的问题情景，经过实践操作度量、分析、猜想获得问题的结论，然后在创设一个题设、图形变化的数学环境，进一步探究对结论的影响.解决此类问题需要充分发挥30°、45°60°、90°特殊角及两直角边相等的作用，再借助类比的思维策略，重新审视原来证明方法是否适用，辅助线的添作能否迁移等等，然后抓住运动过程中的“不变因素”，拾级而上，方可获得问题的答案.例1（07河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图1-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图1-3所示的位置（点F段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）分析：（1）通过观察与度量容易猜想BF=CG；证明线段相等，常常通过2各三角形全等，观察图形只需证明△ABF≌△ACG即可.（2）通过观察、测量DE、DF与CG的长度，可以猜想DE＋DF=CG，欲证明结论：一条线段等于两条线段之和常采用“截长补短”的方法，（如图甲）为此可过点D作DH⊥CG于点H，相当于在GC上截取了GH=DE，只需证CH=DF即可，因而可证△FDC≌△HCD或Rt△FQD≌Rt△HQC即可.证明：在△ABF和△ACG中，ABCEFG图甲HDQ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF=CG． （2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图甲）．∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG． （3）仍然成立．（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD）图1图2图3（第2题图）例2、（07年临沂市）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，交于，交于．①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．分析（1）通过构造包含DM、DN在内的2个三角形全等来解决，为此连接BD，可以根据判定条件——ASA证明△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN来说明DM=DN.①证明：连结．在中，，．，．方法一：．，．（ASA）．方法二：．．．（ASA）．．②四边形的面积不发生变化；由①知：，．．（2）仍然成立， 证明：连结．在中，，，，．．．，．．．（3）．评注：本题巧妙地将一块含角的直角三角板的直角顶点放在等腰直角三角板的斜边的中点上，创设了一个4条直角边两两相交的问题情景，让学生思考证明截得（可通过证明△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN解决），然后将三角板绕中点旋转，得到图2，让学生先探索猜想线段DM与DN的关系、再证明线段DM=DN.这样设计符合学生的认识规律，符合新课标中“提供的内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证”等数学活动，同时使学生亲身感悟、体验了数学知识的发生和发展过程.问题（1）线段的相等证明是通过“全等三角形的对应边相等”来解决的. 面积是通过割补来实现的；问题（2）旋转三角板当交点M、N在AB、BC的延长线上时，虽然图形发生了变化，但是证明的条件：DB=CD，∠BDM=∠CDN仍然成立，只是∠DBM=∠DCN=45°，变成了∠DBM=∠DCN =135°，但∠DBM、∠DCN之间的相等关系仍然成立.因而△BMD≌△CND关系依然成立，故DM与DN的相等关系保持不变. 问题（3）三角板DEF旋转到形外可通过对顶角将直角的条件转化到形内，从而与问题（1）不谋而合.在整个解题过程中，事实上含30°角的三角板只是直角发挥了应有的作用，因此我们也可将其换成等腰直角三角板便有以下的变式：（06青岛市）把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长为4)叠放在一起(如图)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件：0°<α<90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图).在上述旋转过程中BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论.解：∵△ABC为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点，∴CG=BG，CG⊥AB.∴∠ACG=∠B=45°又∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，∴△BGH≌△CGK，∴BH=CK，，∴==×=××4×4=4，即四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.ABCEKHFG(O)ABFCEG(O)爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”.如果我们联想到：两个等腰直角三角尺可以拼成一个正方形，因而上述问题又可演变为06河北省课改实验区的一道考题：实验与推理如图1－1，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点（点也是中点）按顺时针方向旋转．（1）如图1－2，当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺旋转到如图1－3所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1－1图1－2图1－3解：（1）通过测量容易得出：． 证明：是等腰直角三角形，四边形是正方形，，．又，．． （2）仍然成立．证明：是等腰直角三角形，四边形是正方形，，．，又，．．牛刀小试：(04河北省)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含有60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.ABCDEF(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E，F时(如图)，通过观察和测量BE，CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.(2) 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD延长线相交于点E，F时(如图)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.提示：（1）BE-=CF（2）结论仍然成立.两问都是通过△ABE≌△ACF证得.（06年山东枣庄市课标卷）两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．ABCEDM试判断△EMC的形状，并说明理由．分析：△EMC是等腰直角三角形．证明：连接AM．由题意，得∠DAE＋∠BAC=900.∴∠DAB=900.又AD=AB∴△BAD为等腰直角三角形，又∵DM=MB ∴MA=DB=DM,∠MDA=∠MAB=450∴∠MDE=∠MAC=60°+45°=1050 ，又DE=AC，∴△EDM≌△CAM ∴EM=MC, ∠DME=∠AMC又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900所以△EMC是等腰直角三角形 评注：本题是以两块全等含30°角的三角板按一种方式的摆放来创设问题情景的，让学生先猜想判断，再说理.试题平中见奇，独具匠心，堪称好题. 解题时要善于发现隐含的条件如∠BAD=90°，BA=AD，以便运用等腰直角三角形的性质为△EDM≌△CAM创造条件，获得问题的答案.。