2013 深圳市第深圳市第 4 届届 启智杯启智杯 数学思维竞赛题 数学思维竞赛题 A 组 组 1 在下面的算式中 不同的汉字代表 1 9 中不同的数字 那么 为了一切学生 的各字分别代表了什么 数字 写出一种答案 说明你的分析过程 987654 为了一切学生 一切为了学生 为了学生一切 2 从 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字分别填入下面两个算式的方框内 每 个数字只许用一次 使它们都成立 简述理由 3 在如图所示的3 3 的方格中 不同的汉字代表不同的数 每行 每列和两条对角线上各数的和相等 则 每一行各数之和是多少 写出结果并说明理由 4 如图 根据前面 2 个图形中四个数的排列规律 在后面图形的空缺处填入适当的数并说明你发现的规律 5 请将 400 分别表示成 8 个 10 个 20 个连续的奇数的和的形式 400 可以写成最多多少个连续奇数之 和 为什么 6 下图由 6 个大小相同的正方体组成的几何体吊在空中 从上下左右前后各个角度观察 会看到不同个数 的正方形 请将你的观察结果填入如下括弧内 不必说明理由 从侧面 前后左右 看 共有 个正方形 从上面往下看有 个正方形 从下面往上看有 个正方形 7 请对下列空间几何体进行分类 并指出两种分类标准 即分类依据 和分类结果 填入如下的横线上 分类依据一是 每一类分别是 把同一类标号填在一起 共分 类 分类依据二是 每一类分别是 把同一类标号填在一起 共分 类 8 给定一条长度为 2013 米的硬塑料管 请你按下列要求把它裁断 三个要求同时满足 1 每段长都是整数米 2 任意三段为边长都不能构成三角形 3 最长的一段尽可能的长 请问 最多可以裁成多少段 说出你的裁截思路与结果 9 如图 在斜边长为 20cm 的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB 留下两个阴影部分直角三角形AED 和DFC 若8cmAD 12cmCD 则阴影部分面积为多少 给出答案并说明你的计算依据 10 某小学六年级一 二班老师A B C D E F G H共 8 人依次围着一张圆桌吃饭 其中有 数学 语文 英语老师各 2 人 自然 社会老师各 1 人 有班主任 2 人 分别是语文和数学老师 为了便于 交流 他们同一个学科的两人坐邻座 两位班主任也坐邻座 但自然老师与社会老师不坐邻座 已知C的左 侧老师与C在同一学科 C的对面老师教语文 请问哪两位是班主任 11 请设计一个游戏 地面上摆放着若干颗石子 甲乙两人轮流从中取石子 每人每轮最少取 2 颗 最多取 5 颗 取到最后一颗石子者为胜 请设定这堆石子的颗数 至少 50 颗 使先取者有必胜的策略 并说明你 的策略 12 某商场购进 1000 套夏季套装 分三个阶段销售 1 第一阶段 新货上架 以每套 1000 元价格出售 2 第二阶段 旺季热卖促销 买 2 套打 8 折 即每件 800 元 买 3 套打6 5折 3 第三阶段 过季大甩卖 全场 3 折 各阶段销售情况如下表 已知在第二阶段商场促销活动中 卖给一个人 3 套比卖给一个人两套可以多 赚 100 元 问该批服装进价如何 该商场在这批服装销售中共赚 毛利润 多少钱 请填写下表 注 毛利润 售价 进价 不计人工及场地等费用 阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 合计 销售方式 原价销售 2 件 8 折 3 件6 5折 全场 3 折 售出数量 套 300 200 300 200 1000 销售收入 毛利润 2013 深圳市第深圳市第 4 届届 启智杯启智杯 数学思维竞赛题答案 数学思维竞赛题答案 A 组 组 1 答案 372415 分析 法一 记 为了 为 A 一切 为 B 学生 为 C 则有 987654 ABC BAC ACB 其中 254154254 7675175 29897 BC ABC AB 或或 或或 或 而 2 2 2 BCABABC 这样就能只有一 种情况满足 254 7622 298 BC ABCAC AB 如下表 A32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 B34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 只有一种满足 37 15 24ACB 法二 由个位数知道 切 必为偶数 最小为 2 若 切 2 则 生 1 或 6 1 若 切 2 生 1 则结合百位 则 了 3 此时个位 百分 万位均不进位 再分析十位 千位 十万位 可得 3 一 3 学 1 数字重复 舍去 2 若 切 2 生 6 则结合百位 则 了 8 此时位 百位 万位均进位 1 再分析十位 千位 十万 位 可得 生 3 一 2 学 1 数字重复 舍去 若 切 4 则 生 5 结合百位 则 了 7 此时个位 百位 万位均进位 1 再分析十位 千位 十万位 可得 为 3 一 2 学 1 符合要求 2 答案 45 18 3629或9485 2316或5793 2418 分析 答案不唯一 上面的变形亦可 先找两个数的积等于另外两个数的积 然后再猛试 3 答案 2013 分析 1216888999671671 32013赛赛和 4 答案 17 4 33 16 分析 第一行第一列的数是第一行第二列数的 3 倍加 5 第二行第二列的数是第一行第二列数的平方 第 二行第一列的数是第一行第一列的数与第二行第二列的数的和 5 答案 400 43 454749 51 53 55 57 400 31 33 35 373941 43 454749 400 1 3 53739 最多 20 个 分析 先找出平均数 然后向两边延伸 比如 8 个数和为 400 则平均数即为 50 然后两边延伸即可 6 答案 16 5 5 分析 略 注意侧面有个 共 字 7 答案 不唯一 分析 是否包含曲面 1 3 4 5 7 9 10 2 6 8 11 共分 2 类 锥柱台球 3 8 9 1 5 6 7 2 4 10 11 共 4 类 其中 4 是不是台有待商议 8 答案 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 1027 共 15 段 分析 既然要求分段尽可能多 则从最小的开始试 即在 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 中选取即可 而斐波那契数列中前 n 项的和等于第2n项减 1 所以 到第 16 项 987 时已经超出 只能到第 15 项 610 而此时前 15 项的和小于 2013 故需把第 15 项调整到最 大 1027 9 答案 48 2 cm 分析 如图 将三角形ADE绕顶点D逆时针旋转 90 度 E点和F点重合 阴影部分合并为一个直角三 角形CDG 其底为DGDA 高为CD 面积为28 12248AD CD 10 答案 H和G是班主任 分析 由于C的左侧老师与C在同一学科 而C的对面老师教语文 根据座位安排规则及教师在各学科 的分布情况 说明C只能是英语老师 其次 C的对面是G G是语文老师 那么F或H是语文老师 若 G H是语文老师 则A B是数学老师或E F是数学老师 相应的A B或E F分别是自然 社会 老师 但由于自然 社会老师不邻座 这种情况不可能 因此G F是语文老师 而且必然有H A是数 学老师 G和H是班主任 11 答案 不唯一 见分析 分析 设定的石子数为 7 的倍数 2 或 3 或 4 或 5 颗 比如 75 颗 先手取 5 颗 留下 7 的倍数颗 然后 手取 2 或 3 或 4 或 5 颗 先手就取 5 或 4 或 3 或 2 颗 保证每轮下来双方合计取 7 颗 先手取后始终留下 7 的倍数颗 最后一颗必被先手取到 先手必胜 G A C B F E D 12 答案 每套 250 元 获得毛利润 465000 元 阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 合计 销售方式 原价销售 2 件 8 折 3 件6 5折 全场 3 折 售出数量 套 300 200 300 200 1000 销售收入 300000 160000 195000 60000 715000 毛利润 225000 110000 120000 10000 465000 分析 由于在促销阶段 买 3 套打6 5折付款 1950 元 而买 2 套打 8 折付款 1600 元 说明买 3 套的顾客 只需多付 350 元 就可以多得一套服装 而商家通过这套服装多赚 100 元 因此商场的服装进价为 350100250 元 。