专题33 直线的位置关系（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．二、两条直线的交点对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，与的交点坐标就是方程组的解．（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合．三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与A．垂直 B．平行C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】直线经过，两点，直线的斜率：，直线的倾斜角为，直线的斜率，，.故选A.典例2 若直线与直线互相平行，则的值为A．4 B．C．5 D．【答案】C【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，于是有且，解得，故选C．【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.1．“”是“直线和直线垂直”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知直线，．（1）若，求实数的值；（2）当时，求过直线与的交点，且与原点的距离为1的直线的方程.考向二 两直线的相交问题1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.故直线l的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.故直线l的方程为3x-2y-4=0.3．当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例4 （1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为_________；（2）若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________． 【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．由题意知，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝．∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．方法二：当AB∥l时，有kl＝kAB＝，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1．综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．（2）显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离，设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|=d=，在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，故直线m的倾斜角θ =15°或75°．4．若直线与平行，则两直线间的距离为A． B．C． D．5．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是A． B．C． D．考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵kPP'·kl=−1，∴·3=-1， ①又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，∴3·-+3=0. ②联立①②，解得.（1）把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，即7x+y+22=0.6．与直线关于轴对称的直线方程为A． B．C． D．7．已知点为直线上任意一点，，则的取值范围是A． B．C． D．考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，所以，解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．8．已知点，点，直线l：（其中）．（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．1．过两直线3x＋y−1=0与x＋2y−7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=02．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是A．平行 B．重合C．平行或重合 D．相交或重合3．在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是A． B．C． D．或4．直线与直线垂直，垂足为，则A． B．C． D．5．若点到直线的距离为，则A． B．C． D．6．若直线l1:y=k(x−4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点 A．(0,4) B．(0,2)C．(−2,4) D．(4,−2)7．点P（-3，4）关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是A． B．C． D．8．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为A． B．C． D．9．设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为A． B．C． D．10．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A．， B．，C．， D．，11．已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则(14)m+(12)n的最小值为A．-3 B．3C．16 D．412．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为A． B．C． D．13．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为A． B．C． D．14．若直线2x+ay−7=0与直线(a−3)x+y+4=0互相垂直，则实数a= .15．若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点________．16．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则x2 ＋ y2的最小值等于__________.17．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则__________．18．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_________.19．一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．20．已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .21．已知直线l1:x−2y+4=0与l2:x+y−2=0相交于点P（1）求交点P的坐标；（2）设直线l3:3x−4y+5=0，分别求过点P且与直线l3平行和垂直的直线方程.22．已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a−2)y+a=0.（1）若l1⊥l2，求实数a的值；。