g3.1069棱锥

锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 ①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等） ；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积： （底面周长为 ，斜高为 ）''h③棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面成的二面角为 ） 附： 以知 ⊥ ， ， 为二面角 ①， ②， ③ ①②③得 11注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：D，D D. 令,,得 ，已知, 0,0空间四边形 四边长相等，若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形 点 ，则 平面 90°易知 平行四'O  ．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；1棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )A)果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的 内，那么 是 的( )O心 重心 外心 内心()()()．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面3B面的二面角的大小是( )4))2(、若一个三棱锥中，有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ）)( B、 C、 D、 1．正四棱锥 中，高 ，两相邻侧面所成角为 ， ,31)求侧棱与底面所成的角。

2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)解：（1） 作 于 ，连结 ，则 且 ，故 是相邻侧面所成二面的平面角，连结 ，则 ， ，在 与 中， ＝ ＝O2ORt中 为 与底面所成的角，设为 ) 故 302（2）在 中，侧棱 = ， ，2∴边长 ；取 的中点 ，连结 ，则 是正四棱锥的斜高，24，斜高 ；例 2．如图正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，若经过对角线 且与对角线1 （1）试确定 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面 与侧面1底面所成的角；（3）求 到平面 的距离 1） 为 的中点连结 与 交于 ，则 为 的中点， 为面 1交线，∵ //平面，∴ 为 的中点1E（2）过 作 于 ，由正三棱锥的性质， 平面 ，连结 ，则,1侧面 所成的角的平面角，可求得 ，G14a由 ，得 ，∴1134F∵ 为 的中点，∴ ，由正三棱锥的性质， ，∴ 平面1，∴ 是平面 与上底面所成的角的平面角，可求得B，∴13）过 作 ，∵ 平面 ，∴ ，∴ 平面1 到平面 的距离， ，∴11132a16a例 3．如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂045于底面， ， ， ， 901,6)求证：二面角 是直二面角；(2)求二面角 的正切值；P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几1体 的侧面积．1(1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 ．由题设知 是等腰直角三角形，且 ．∴ ．PA∵ 平面 平面 ，∴ 平面 ， 1 ∴ ，∴ 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 ，P直二面角．解 (2)作 ， 为垂足，则 ．∴ 是二面角 的平面角．在， ，则0,6C8,4D 图 31—3P 1图 31－31P 1得 ＝ ＝ ，A104652∴ 所求正切为 ＝ ．(3) ∵ ∴ 分别是 的中点．132, ， ．8466421∵ ＝ ＝ ，22513．404∴ ，∴ 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 312619214S几 何 体 棱 锥 侧四、作业 同步练习 锥1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )1()果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 在底面的射影 在么 是 的( )O垂心 重心 外心 内心()()(．已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以 为棱，以面 与面3 3B )3())、若 P 是正四面体内一点，P 到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高C、正四面体相对棱间的距离 D、正四面体的高5、若一个三棱锥中，有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大值时 的值为（ ）)( B、 C、 D、2325266、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A、1：3 B、1：2 C、1： D、1：337、正三棱锥的高是 ，侧棱长是 ，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 378、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为 1此棱锥的体积为 。

9、已知三棱锥 体积为 V，棱 长为 a，面 面 面积分别为 面 面 则 ＝ . 棱锥 ，B=B=AC=a，则该三棱锥表面积 S 的取值范围是 ；体积 V 的取值范围是 . 11．如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该侧面垂直于底面，045 ， ， 901,613(1)求证：二面角 是直二面角；(2)求二面角 的正切值；P(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几何体 的侧面积．12、已知在四面体 ， = a， = b， = c， G∈平面 ）若 G 为△ 重心，试证明 (a+b+c)；31（2）试问（1 ）的逆命题是否成立？并证明你的结论． 8、1 9、 10、 60213(380V11、证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 ．由题设知 是等腰直角三角形，且 ．∴ ． 平面 平面 ，∴ 平面 ， 1B∵ ∴ ，∴ 平面 ，B∵ 平面 ， ∴平面 平面 ，直二面角． (2)作 ， 为垂足，则 ．∴ 是二面角 的平面角．在 中，B则10,6B8,4由 ，得 ＝ ＝ ，0652∴ 所求正切为 ＝ ．3(3) ∵ ∴ 分别是 的中点．132 ， ．8466421∵ ＝ ＝ ，2513图 31－31 ．1403254∴ ，∴ 几何体 的侧面积 棱 锥 侧 3126194S几 何 体 棱 锥 侧12、解：（1）连 D，则 D 平分 G 分 所成的比为 2∶1，从而a，)2(1)]()[(1)(2 22）逆命题成立，证明如下：设 D 分 所成的比为 p， G 分 所成的比为 q． )(1 )(1，)(1qAG。