3.2 平行线分线段成比例,湘教版·九年级上册,图3-3是一架梯子的示意图.由生活常识可知：AA1,BB1, CC1,DD1互相平行，且若AB=CD，则A1B1=C1D1,由此可猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗?,图3-3,图3-4，已知直线a∥b∥c，直线l1,l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB,BC,和A1B1,B1C1,且AB=BC.求证：A1B1=B1C1,分析：过点B作直线l3∥l2，分别与直线a,c相交于点A2,C2 由于a∥b∥c，l3∥l2 由“夹在两平行线间的平行线段相等” 可知A2B=A1B1,BC2=B1C1, 所以△BAA2≌△BCC2 所以BA2=BC2 所以A1B1=B1C1,,,,,,A,B,C,A1,B1,C1,a,b,c,l2,l1,,,图3-4,,,,,,,平行线等分线段定理：,两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.,注意：平行线等分线段定理的条件,相邻的两条平行线间的距离相等,,,,一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,结论又如何呢？,几何语言表达：,如图3-5，任意画两条直线l1,l2,再画 三条与l1,l2相交的平行直线a,b,c，分 别度量l1,l2被直线a,b,c截得的线段 AB,BC,A1B1,B1C1的长度. 任意平移直线c，再度量AB,BC,A1B1,B1C1的长度，,图3-5,a,b,c,l1,l2,下面我们来证明：,由平行线等分线段定理可得：,我们还可以得到：,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.,平行线分线段成比例定理,注意：,1.一组平行线的数量为3条以上；,3.对应线段的比相等是指同一条直线上的两条 线段的比，等于另一条直线上与它们对应的 两条线段的比；,4.常见的线段对应关系有：,2.对应线段是指被平行线所截的线段；,几何语言表达：,运用平行线分线段成比例定理的 三种基本图形：,(1)两条截线无交点,(2)两条截线的交 在三条平行线 的外面,(3)两条截线的交 在三条平行线 的内部,思考： 平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系：,,,结论：后者是前者的一种特殊情况！,举 例,(平行线分线段成比例定理),2,3,1.5,？,随堂练习,3,1,2,(平行线分线段成比例定理),？,如何求直接AC的长度？,2,3,4,12,？,？,？,(平行线分线段成比例定理),如图3-7，在△ABC中，已知DE∥BC,则,分析：过点A作直线MN，使MN∥DE，,∵ DE∥BC,∴ MN∥DE∥BC.,又∵AB,AC被一组平行线MN,DE,BC所截，,,,图3-6,同时还可以得到：,(平行线分线段成比例定理),由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.,,,如果DE截在两边的延长线上时，,对应线段还成比例吗？,由此可以得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例.,a,成立,平行线分线段成比例定理推论:,∵DE∥BC，,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.,几何语言表达：,注意：平行线等分线段定理推论的条件,(1)截线与三角形的两边(或两边的延长线)相交；,(2)截线平行于三角形的第三边；,运用平行线分线段成比例定理推论的三种基本图形:,截线在三角 形的内部；,(2)截线在三角形 的顺向延长线上；,(3)截线在三角形 的反向延长线上；,例2 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且DE//BC， 若AB=3，AD=2，EC=1.8。
求AC的长.,解:,∵DE//BC,注意：先把要求的线段作为比例式的第一项，再 根据条件列出合适的比例式.,例3 如图,△ABC中，点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC, AC上，且DE//BC，DF//AC.,(1)证明：∵DE//BC,又∵DF//AC,D,E,,,,注意：若不能直接证明两组比相等，则可以证明这两组比分别与另一组比相等，从而通过等量代换证明这两组比相等.,(2)若AE=4，EC=2，BC=8求BF和CF的长.,(3)下列比例式成立的是( ),B,例4 已知：AD是△ABC中∠BAC的平分线， 求证：,,,,,C,B,D,A,证明:,过点C作CE//DA交BA的延长线于点E.,则∠1=∠E, ∠2=∠ACE,,∵AD平分∠BAC，,∴∠1=∠2,,∴∠ACE=∠E,,∴AC=AE,,又∵CE//DA,,1.如图1：已知l1∥l2∥l3 ，AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米.则EF=（ ），DE=（ ）. 2.如图2:△ABC中，DE ∥BC，如果AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ ）,随堂练习,3.如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4，AC=3厘米， 则CE=（ ）,4.已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列结 论不成立的是( ),5.如图，E为 ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交 AC与点O,交AD与点F，求证：,,6,。