第七讲 曲线积分与曲面积分一、空间曲线的参数化若积分曲线T的参数方程 r： x x(t),y y(t),z z(t), t [,],则曲线积分 的计算公式为Pdx Qdy Rdz {P(x(t), y(t), z(t))x(t) rQ(x(t), y(t),z(t))y (t) R(x(t), y(t),z(t))z (t)}df(x,y,z)ds f (x(t),y(t),z(t))Jx2(t) y 2(t) z2(t)dt, t [,]r曲线积分计算的关键是如何将积分曲线 r参数化下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法F(x,y,z) 01 .设积分曲线r： G/Y、/力0,从中消去某个自变量，例如z,得到r在 G(x, y,z) 0xoy平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程x x(t), y y(t),然后将它们代入F(x,y,z) 0或G(x,y,z) 0中，解出z z(t)由此得到T的参数方程：x x(t),y y(t),z z(t), t [,] 2 2 2 2x y z a例1将曲线r： ,(其中a 0)用参数方程表示x y解：从T的方程中消去y,得到xoz平面上的投影曲线2x2 z2 a2,这是椭圆，a它的参数万程为x ]^cost,z asint,t [0,2 ],将其代入T的万程，得到 a —. x — costa ay 12cost，所以 r的参数方程为 r： y 72cost,t [0,2 ]。
z asint2 .若「的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用园、椭圆或球的所熟知的参数方程先将其参数化，再代入 T的另一方程，求出另一变量的参数表达式 2 2z x y例2将曲线F x2 y2 2ay，(其中a 0)用参数方程表示解：T在xoy平面的投影曲线为x2 y2 2ay,这是一个圆，先将其参数化因为x2 y2 2ay x2 (y a)2 a2,所以它的参数方程为x acost cV A t [0,2 ]，将其代入 z x2y a asint2 .22z (acost) (a asint) 2a (1 sint), tx acost所以T的参数方程为，y a asint ,t [0,2 ] o_ 2z 2a (1 sint)对例1加一个条件x 0,求它的参数方程2 2 -解:z a是球面，引入球坐标， yy2得[0,2 ]asin cosasin sin , [0,2 ], [0,]acos由于yx 得 sincosz,(x 0)，故 y z2 .asin2、.2 asin , [0,2 acosz二、曲线积分的计算1 .注意到曲线积分的被积函数f (x, y)是定义在积分曲线上的，因此它的自 变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程 L: (x, y) 0去化简被 积函数。
2 .对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例)1⑴曲线L关于x轴对称，是指(x, y) (x, y),换句话说，若(x,y) L,则它的对称点(x, y) L ；(2)曲线L关于y轴对称，是指(x, y) ( x, y),换句话说，若(x, y) L,则 它的对称点(x,y) L ；(3)曲线L关于原点对称，是指(x,y) ( x, y),换句话说，若(x,y) L,则它的对称点(x, y) L ；(4)曲线L关于直线y x对称(或直线y x对称)，是指(x,y) (y,x),(或(x, y) ( y, x))，换句话说，(x, y)与(y,x)互为对称点，汽,丫)与(y, x)互 为对称点若曲线积分 f(x, y)ds的被积函数f(x, y)在任意的对称点处的函数值互为L相反数，则f(x,y)ds °；在任意的对称点处函数值都相等，则 Lf(x,y)ds 2 f(x,y)ds,其中Li是相应对称积分曲线的一半L L1例 1 计算(1) (x x2 y2)ds,其中 L：x2 y2 a2(a 0)；L 2 2 2 22 , 2 . / V x V ,(2) [2xy 3x 4y sin (— 彳)]ds,其中 L:： 彳 1,周长为 a。
L 4 3 4 3解：(1)由于L关于y轴对称，被积函数x在对称点处的函数值互为相反数，所以xds 0 L由于L关于直线y x对称，函数x2 y2在对称点处互为相反数，所以,2 2 2 , 2 , . .(x y )ds即 x ds y ds,从而有L L L2l#x2dsL2l(x2y2)ds1 a2ds由于L的参数方程为x acos , y sin[0,2 ],所以y4dsL_4_. 4 a sin2 sin5 2 . 4a sin0_ 5 4d 2a sin d02a50sin4 d2a52 sin4214a52 sin404a5“- E2⑵[2xy 3xL4y2sin2xydsL212l吟2(x22削ds1 . ,x2sin (——12 42：)]ds30 12 (1L1 . sin 12)ds 12a.其中L关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互为相反数，所以2xydsLey-x例 2 设 f (x, y) 0C 2,求弧长的曲线积分 f(x,y)ds,其中l为正其匕 L方形|x| |y| 1的边界解：如图f (x,y)dsLey-xds,由于折线ABEFG对关于直线y x对称，且在ABEFG对称点上有f(x,y)f( y,x)，所以f(x,y)ds2 ey-xds 2( ey-xdsABEABey-xds)BEAB:x1-x[1,1], ey-xds2 AB1 e1-2x、2dx22 -1T(e1)BE:y-xe dsBE原式ey-xdsABE2( ey-xdsABey-xds) - 2(eBE-1 e1)。
计算：(..2y2 z2r2y )ds，其中r：2a ， -,(a 0) o解：(1)由于在r上y x,所以#ds[0,2 ]，则°y2ds 02 吟cost)2/ a2 cost)2、2 , , 、2.cost) (asint) dt2 2cos tdt0口 (,2y2 z2 y2)ds ：( x2 y2 z2 y2)ds 一 .a2ds :-r r r ra a由例 11的参数方程为 r： x 丁cost, y -cost,z asint,t2 、2所以 “({2丫2 z2 y2)ds 2 a2 -a30 r 23.格林公式的应用- P QP(x, y)dx Q(x,y)dy (一 一)dxdyl d x y(1)若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线,再应用格林公式;P⑵若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”，则在奇点外成立 — x其中L的条件下，有 °P(x, y)dx Q(x,y)dy 口 P(x,y)dx Q(x, y)dy 成立,是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等例 1 设 D {(x,y),0 x1,0 y1},记L为它的正向边界曲线。
证明:sixeL-sinx .ye dx-siny sinx口 xe dy yeLdx 2证：由格林公式得-siny sinx .:xe dy ye dxL-siny、(xe )x/ sinx、y-^--]dxdy y-siny sinx、[(e e )dxdyD-sinx sinx -sinx[(e e )dxdy 2 eD Desinx dxdy 2其中 e-s1nxdxdyesinydxdy,是由于D是关于直线yx对称，即f(x, y)d f(y,x)dD D同理可证° xesinydy ye-sinxdx 2两积分相等可由格林L公式得出例2计算：等学，其中L是以（1,0）为中心R（R>D为半径的正向圆周解：首先验证（”） x/ 2 24x y2 2~2(4x y )（J）且成立y由于在L为边界的闭区域D内—^，一—有不连续点（0,0）,因此在4x y 4x yD内部作正向闭曲线L :4x2 y22,其中充分小，所以xdy ydx xdy ydx 1 , , 2 , , 2 2c白一y―三 口 一七—一 f q xdy ydx 丁 dxdy y 22 2 2 2 2 2 2l 4x y l 4x y l dA（常数），其中函数（x）可导，且例3.已知关于坐标的曲线积分'y ydx l （x） y⑴1, L是围绕（0,0）的任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数（x）的表达式;(2) A的值解：（1）为了应用格林公式求出 （x）,先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有；羽节0.（因为 y2 x （x） （x） y2 ,解此微分方程得（x） Cx2 ,由于（1） 1,所以C=1所求的（x） x2未知所以原点有可能为被积函数 的不连续点）如图:xdy ydx xdy ydx 2 2AlBnA (x) y AlBmA (x) yxdy ydx xdy ydx xdy ydx2 ' 2 " 2c (x) y BnA (x) y AmB (x) y由此可知对（x,y） （0,0）有(x) y2)((J 2)(x) y成立,即(2)取 Li 为正向圆周 x ；\1 z2 ：1 z 2 dz 2 ；dz2 । 1 z 2 y2 1,则 A 口 xdy—ydx 口 xdy ydx 2 dxdy 2 。
Li (x) y 1Li x2 y2 14.利用曲线积分来计算曲面的面积 (1)柱面1： F(x,y) 0被曲面：z z(x, y)截下部分的面积计算公式为S z(x,y)ds,其中F(x, y) 0在xoy面上的投影曲线.C 3 3例1 求柱面x2 y2 1位于球面x2 y2 z2 1之内的侧面的面积S解：由于 关于三个坐标面都对称，所以S 8So(S0是S位于第一卦限部分的面积)由对弧长的曲线积分的几何意义，知道So ,..1 x2 y2ds 0 .1C(cos3t)2 (sin3t)21 (cos3t)2 (sin 3t) 2dt23cos2tsin2t 3costsintdt3 3 2 cos2tsin 2tdt 3.3 2 (sin。