等腰三角形 1、、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形2、、等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：（（1））等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 （简写成（简写成“等边对等角等边对等角”））（（2））等腰三角形的顶角的平分线，底边上的等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成中线，底边上的高重合（简写成“三线合一三线合一”））3、、等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：（（1））有两条边相等的三角形是等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形2））有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成（简写成“等角对等边等角对等边”）） 4、、等腰三角形有关结论：等腰三角形有关结论：（（1））等腰三角形的两底角的平分线相等等腰三角形的两底角的平分线相等两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（（2））等腰三角形的底边上的中点到两腰的距离等腰三角形的底边上的中点到两腰的距离相等3））等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(需用等面积法证明需用等面积法证明)（（4））等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
于顶角的一半 •等腰三角形和等边三角形的性质和等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数求线段的长度、角的度数 下列命题中真命题的个数是下列命题中真命题的个数是( )( )；；①①等边三角形也是等腰三角形，任何一等边三角形也是等腰三角形，任何一边都可以作为底或腰；边都可以作为底或腰；②②不等边三角形是遍都不相等的三角形；不等边三角形是遍都不相等的三角形；③③不等边三角形是三边不都相等的三角不等边三角形是三边不都相等的三角形；形；④④三角形按边可分为不等边三角形、等三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形腰三角形、等边三角形A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 B 已知一个三角形的边长为已知一个三角形的边长为4cm4cm，，5cm5cm，且第，且第三三边边长长x x为为整整数，问：数，问：（（1 1）由）由4cm,5cm,xcm4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同的为边可组成多少个不同的三角形？三角形？（（2 2）如果这个三角形是等腰三角形，试确定）如果这个三角形是等腰三角形，试确定x x的值。
的值解：（解：（1 1））由三边关系可知，由三边关系可知，5-45-4＜＜x x ＜＜5+45+4，， 即即1 1 ＜＜x x ＜＜9 9 又又∵∵x x为整数，故为整数，故x x可取值为可取值为2 2，，3 3，，4 4，，5 5，，6 6，，7 7，，8 8共共7 7个，因而可组成个，因而可组成7 7个不同的三角形个不同的三角形2 2）） 当当x=4cmx=4cm或或5cm5cm时，可组成等腰三角形时，可组成等腰三角形 如图，如图，P，，Q是是△△ABC边上的两点，且边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，，求求∠∠BAC的度数APBCQ开动脑筋 在在△△ABCABC中，中，AB=AC,AB=AC,点点D D在在BCBC上，且上，且AD=BD,AD=BD,AC=CD,AC=CD,求求∠∠B B的度数∵∵AB=AC,AD=BD,AC=CDAB=AC,AD=BD,AC=CD∴∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC∴∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC设设∠∠B=xB=x，则，则∠∠ADC=∠B+∠BAD=2xADC=∠B+∠BAD=2x∴∠DAC=∠ADC=2x∴∠DAC=∠ADC=2x在在△△ABCABC中中 ∠ ∠B+∠C+∠BAC=180°B+∠C+∠BAC=180°∴x=36°∴x=36° 故故∠∠B=36°B=36° 如图，如图，CA=CB,DF=DB,CA=CB,DF=DB,AEAE=AD,=AD,求求∠A∠A的度数的度数设设∠A∠A为为x x∵CA=CB∵CA=CB∴ ∠A=∠B=x∴ ∠A=∠B=x∵DF=DB∵DF=DB∴∠F=∠B=x∴∠F=∠B=x∴ ∠A=∠B= ∠F =x∴ ∠A=∠B= ∠F =x∴∠AD∴∠ADE E=2x=2x∵AE=AD∵AE=AD∴∠AED=∠ADE=2x∴∠AED=∠ADE=2x∴ ∠A=180÷5=36°∴ ∠A=180÷5=36°E △△ABCABC是等边三角形，过是等边三角形，过ACAC边上的点边上的点D D作作DG//BC,DG//BC,交交ABAB于点于点G G，在，在GDGD的延长线上取的延长线上取一点一点E E，使，使DE=DCDE=DC，连接，连接AE,BDAE,BD。
1 1）求证）求证△△AGEAGE≌≌△DAB△DAB解：解：∵ △ABC∵ △ABC是等边三角形，是等边三角形， DG//BCDG//BC ∴△AGD∴△AGD是等边三角形是等边三角形 ∴ ∴AG=GD=AD,∠AGD=60°AG=GD=AD,∠AGD=60° ∵ DE=DC∵ DE=DC ∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB ∵∠AGD=∠BAD,AG=AD∵∠AGD=∠BAD,AG=AD ∴ △AGE≌△DAB∴ △AGE≌△DAB （（2 2）过点）过点E E作作EF//DBEF//DB，交，交BCBC于点于点F F，连接，连接AFAF，，求求∠∠AFEAFE的度数解：解：∵ EF//DB∵ EF//DB，， DG//BCDG//BC∴∴四边形四边形BFEDBFED是平行四边形是平行四边形∴∴EF=BDEF=BD∴EF=AE∴EF=AE∵∠DBC=∠DEF∵∠DBC=∠DEF∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF 即即∠∠AEF=∠ABC=60°AEF=∠ABC=60°∴△AEF∴△AEF是等边三角形是等边三角形∴ ∠∴ ∠AFE= 60°AFE= 60° 已知，在已知，在△△ABCABC中，中，AB=AC,BD⊥ACAB=AC,BD⊥AC于点于点D D，求证：，求证：2∠DBC=∠BAC2∠DBC=∠BAC证明：证明：过点过点A作作AE⊥ ⊥BC于点于点E∵ ∵AB=AC，， AE⊥ ⊥BC∴ ∴2∠ ∠EAC=∠ ∠BAC∴∠∴∠EAC+∠ ∠C=90°又又∵ ∵BD⊥ ⊥AC∴ ∴∠ ∠DBC=∠ ∠EAC所以所以2∠ ∠DBC=∠ ∠BAC 如图，在如图，在△ △ABC中，中，∠ ∠BAC＝＝90°，，AB＝＝AC，，∠ ∠ABC的平分线交的平分线交AC于于D，过，过C作作BD垂线垂线交交BD的延长线于的延长线于E，交，交BA的延长线于的延长线于F，求，求证：证：BD＝＝2CE．． 如图，在如图，在△ △ABC中，已知中，已知AB＝＝AC，，∠ ∠BAC＝＝90°，，D是是BC上一点，上一点，EC⊥ ⊥BC，， EC＝＝BD，，DF＝＝FE．．求证：（求证：（1））△ △ABD≌△≌△ACE；（；（2））AF⊥ ⊥DE．． 已知如图已知如图1，，B、、C、、E三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，△△ABC与与△△DCE都是等边三角形，都是等边三角形，AE交交CD于于点点G，，BD交交AC与点与点F，连接，连接FG。
证明：（证明：（1））AE=BD；； （（2））FG∥ ∥BE；；图图1 1 （（3）如图）如图2，若，若M、、N分别是分别是AE、、BD的中的中点，点，△△MNC是什么三角形？请说明理由是什么三角形？请说明理由图图2 2 角平分线定理与垂直平分线定理角平分线定理与垂直平分线定理 例例1：如图，已知：：如图，已知：AB=AC，，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AC于于D，，垂足是点垂足是点E，，∠ ∠C=70°，求，求∠ ∠BDC的度数解：解： ∵∵AB=AC，， ∴∠∴∠ABC=∠ ∠C=70° ∴∠∴∠A=180°-2∠ ∠C=40°，， 又又∵∵DE垂直平分垂直平分AB，， ∴∴AD=BD ∵∠∵∠DBA=∠ ∠A=40° ∴∠∴∠BDC=∠ ∠A+∠ ∠ABD =40°+40°=80° 例例2 如图如图1，，OC平分，平分，P是是OC上一点，上一点，D是是OA上一点，上一点，E是是OB上一点，且上一点，且PD=PE，求证：，求证：证明：过点证明：过点P作作 ，， ，垂足分别为，垂足分别为M、、N因因OC是角平分线，是角平分线， ，， ，， 故故PM=PN由由PD=PE，，PM=PN，得，得 ，，而而 例例3 如图如图2，在，在 中，中， 的平分线与的平分线与BC边的垂边的垂直平分线相交于点直平分线相交于点P。
过点过点P作作AB、、AC（或延长线）（或延长线）的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是M、、N求证：BM=CN证明：因证明：因AP是是 的角平分线，的角平分线，又因为又因为 ，， ，故，故 PM=PN因因PD是是BC的垂直平分线，的垂直平分线，故故PB=PC因因PB=PC，，PM=PN，，故故 例例4：已知：如图，：已知：如图，PB、、PC分别是分别是△ △ABC的外角平分的外角平分线，相交于点线，相交于点P.求证：求证：P在在∠ ∠A的平分线上．的平分线上．证明：过点Ｐ作ＰＥ证明：过点Ｐ作ＰＥ⊥⊥ＡＢ，ＰＦＡＢ，ＰＦ⊥⊥ＡＣ，ＰＱＡＣ，ＰＱ⊥⊥ＣＢ，垂足分别为Ｅ，ＣＢ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，Ｑ∵∵ＢＰ，ＣＰ分别是ＢＰ，ＣＰ分别是△△ABC的外角平的外角平分线分线∴∴PE=PQ, PF=PQ∴ ∴PE=PF∵ ∵ＰＥＰＥ⊥⊥ＡＢ，ＰＦＡＢ，ＰＦ⊥⊥ＡＣＡＣ∴∴点点P在在∠∠A的平分线上的平分线上 例例5：已知：如图，在：已知：如图，在△ △ABC中，中，AD是高，是高，BC的垂直平分线的垂直平分线交交AC于于E，，BE交交AD于于F。
求证：求证：E在在AF的垂直平分线上的垂直平分线上 证明：证明： ∵ ∵E在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上 ∴ ∴EB=EC ∴∠∴∠C=∠ ∠CBE（等边对等角）等边对等角） ∵ ∵AD⊥ ⊥BC（已知），（已知）， ∴∠∴∠BFD+∠ ∠C=90°，， ∠ ∠CAD+∠ ∠C=90°，， ∴∠∴∠BFD=∠ ∠CAD 又又∵∠∵∠AFE=∠ ∠BFD ∴∠∴∠CAD=∠ ∠AFE，， ∴ ∴EA=EF（等角对等边），（等角对等边）， ∴ ∴E在在AF的垂直平分线上的垂直平分线上 。