高考数学第二轮复习 分类讨论思想方法 人教版（通用）

高考数学第二轮复习 分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况这种分类讨论题型可以称为概念型② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况这种分类讨论题型可以称为性质型③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论这称为含参型另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论一、方法简解：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

A. B. C. D. 或7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；2小题：对底数a分a>1、00、x<0两种情况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C二、举例分析：例1. 设00且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论解】 ∵ 01① 当00，log(1＋x)<0，所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;② 当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0；由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。

注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当00，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论95年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。

解】 设{a}的公比q，则a>0，q>0 ①．当q＝1时，S＝na，从而SS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a<0； 当q≠1时，S＝，从而SS－S＝－＝－aq<0；由上可得SS0, 使得＝lg（S－c）成立注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论该题文科考生改问题为：证明>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围 1 4 x 1 4 x【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－∴ 或或∴ a≥1或；当a<0时，，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a> 注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用例5. 解不等式>0 (a为常数，a≠－)【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－

解】 2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x>0，解得：x≠0；当－0，解得: x<6a或x>－4a；当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1 （0≤a≤1）由上可得，z＝(－1＋)或(1)ｉ【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。

另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a； ∴ 当y＝0时，x＋2|x|＝a，解得x＝(－1＋)，所以z＝(－1＋)；当x＝0时，－y＋2|y|＝a，解得y＝(1)，所以(1)ｉ由上可得，z＝(－1＋)或(1)ｉ【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式 （本题难度0.40）【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；综上所述，有f(a)＝ 。

注】本题解题的基本思路是先建立目标函数求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式三、巩固训练：1. 若log<1，则a的取值范围是_____A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞)2. 非零实数a、b、c，则＋＋＋的值组成的集合是_____A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,。