拉格朗日点”的理论推导摘 要：在由一个大天体和一个小天体构成的系统中，在它们的轨道平面内存在这样的5个点，使得在这5个点上的质量可忽略的星尘或飞行器在两个天体的万有引力的作用下运动的过程中与两个天体保持相对静止，这样的点称为“拉格朗日点”下面将用数学中向量的理论对“拉格朗日点”进行理论推导关键词：拉格朗日点；万有引力；向量0 引 言 如图1所示，1767年数学家欧拉推算出了拉格朗日点中的L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日又推算出了另外两个点L4、L5【1】美国普林斯顿大学的物理学教授杰拉尔德基钦奥尼尔提出在地月系统中的拉格朗日点上建造太空城的方案【2】2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，嫦娥二号在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道【3】卫恒星 图1【4】 拉格朗日点中较难理解的是L4、L5点，这两个点分别与两个天体构成等边三角形对拉格朗日点的推导有说明的文献也很少如参考文献【2】的对于拉格朗日L4点的推导运用了复杂的几何知识下面将用简单的向量的方法去推导拉格朗日L4、L5点，并简要说明L1、L2、L3点的存在性。
1 推导过程1.1 L4、L5点的推导CR3R2R1OJS图2 第 1 页 （共 4 页）如图2，我们以太阳系中的恒星太阳（Sun）和最大的行星木星（Jupiter）为例，设相对它们质量可忽略不计的航天器c位于拉格朗日点上设太阳质量为M，木星质量为m，太空城市质量为u，系统的质心为O，mS=R1，mJ=R2，mO=R3，三个向量的长度分别为R1,R2,R3.设|SJ|=R，由数学分析中的质心求法可得|OS|=RmM+m ，|OJ|=RMM+m由于三个物体相对静止，故它们绕质心旋转的角速度相同，设其为ω，并设万有引力常数为G以J为研究对象有：GMmR2 = mω2RMM+m ω2 = GM+mR3对m用万有引力的向量形式有：GMR13R1 + GmR23R2 =ω2R3 = GM+mR3R3∵R1= R3 + OS , R2= R3 + OJ∴MR13R3+ MR13OS + mR23R3 + mR23OJ = M+mR3R3∴(MR13+ mR23- M+mR3) R3 = MR13SO + mR23JO又∵SO = -mMJO ,代入上式得(MR13+ mR23- M+mR3) R3 = m(1R23 - 1R13) JO ——（*）当 R3与JO 不共线时，由（*）式，MR13+ mR23- M+mR3=01R23 - 1R13=0故R1 = R2 = R 即c与S、J构成等边三角形，L4、L5的存在性得证1.2 L1、L2、L3点的简单说明当 R3与JO 共线时，仍可通过（*）式求解证得L1、L2、L3的存在性，但是求解过程是繁琐的。
这三个点的存在性最早是由欧拉证得的因为相对L4、L5来讲，它们是容易被人理解的，所以在这里不对它们进行具体的计算，只需对它们的存在性进行简单的说明 第 2 页 （共 4 页）1.2.1 L1点的简单说明如图2，L1点位于两天体之间且三点共线设c与S之间距离为r，先只考虑大天体的作用，则有GMur2 = uω2r ω2 = GMr3 当考虑小天体的作用时，相当于M值减小，只要适当减小r的值，也就是使c适当向大天体移动，就可以使ω保持不变这样就说明了L1点的存在性1.2.2 L2点的简单说明如图2，L2点位于两天体所在直线上小天体远离大天体的一侧仍然设c与S之间距离为r，先只考虑大天体的作用，则有ω2 = GMr3当考虑小天体的作用时，相当于M值增大，只要适当增大r的值，也就是使c适当向远离天体方向移动，就可以使ω保持不变。
这样就说明了L2点的存在性1.2.3 L3点的简单说明如图2，L3点位于两天体所在直线上大天体远离小天体的一侧仍然设c与S之间距离为r，先只考虑大天体的作用，则有ω2 = GMr3当考虑小天体的作用时，相当于M值增大，只要适当增大r的值，也就是使c适当向远离天体方向移动，就可以使ω保持不变这样就说明了L3点的存在性2 结束语拉格朗日点在科学上有着重要的应用因为飞行器可以在拉格朗日点上进行长期、稳定的观测而无需消耗大量的能量进行轨道机动，拉格朗日点资源也逐渐成为各国竞争的对象 第 3 页 （共 4 页）•参考文献及网址[1]林辉庆.拉格朗日L4点的理论验算[J].物理教师，2012，33(4)：42-43.[2]传奇书系编委会.太空移民[M].北京：北京理工大学出版社.2009.4-1.[3]蔡金曼.我国月球及深空探测取得新突破[EB/OL]. [4]百度百科. 拉格朗日点（欧拉推算出的能够使小物体稳定的点）[EB/OL]. 第 4 页 （共 4 页）。