第九章 拉普拉斯变换,9.4 Laplace,变换的,应用及综合举例,一、求解常微分方程,(,组,),步骤,得到象函数,求,解,微分方程,(,组,),象函数的,代数方程,(,组,),Laplace,正变换,微分方程,(,组,),的解,Laplace,逆变换,(1),将,微分方程,(,组,),化为象函数的代数方程,(,组,),；,(2),求解代数方程得到象函数；,(3),求,Laplace,逆变换得到,微分方程,(,组,),的,解工具,对方程两边取,Laplace,变换，有,(2),求,Laplace,逆变换，得,解,(1),令,代入初值即得,P218,例,9.6,对方程两边取,Laplace,变换，并代入初值得,(2),求,Laplace,逆变换，得,解,(1),令,求解此方程得,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1),令,求,解得,整理得,P229,例,9.19,解,(1),令,求,解得,(2),求,Laplace,逆变换，,得,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1),令,求,解得,(2),求,Laplace,逆变换，,得,如图，,解,由于,利用,线性性质,及,延迟性质,有,1,1,函数,可写为,二、,综合举例,P231,例,9.21,对方程两边取,Laplace,变换，并代入初值有,解,(1),令,(2),求,Laplace,逆变换，得,对方程两边取,Laplace,变换有,(2),求,Laplace,逆变换，得,解,(1),令,整理得,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1),令,求解得,解,(1),令,求解得,(2),求,Laplace,逆变换，,得,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1),令,解,(1),令,(2),求,Laplace,逆变换，,得,(2),令,(3),求,Laplace,逆变换，,得,解,(1),由于,因此原方程为,在方程两边取,Laplace,变换得,P232,例,9.24,(,跳过,?),求,Laplace,逆变换，得物体的运动方程为,根据,Newton,定律有,解,设物体的运动方程为,在方程两边取,Laplace,变换得,令,P230,例,9.20,求解此方程得,求,Laplace,逆变换，得,设有如图所示的,R,和,L,串联电路，在 时刻接到直流,例,K,E,L,R,电势,E,上，求电流,由,Kirchhoff,定律知，,解,满足方程,在方程两边取,Laplace,变换得,令,P233,例,9.25,解,(1),由,Newton,定律及,Hooke,定律有,即物体运动的微分方程为,位置 处开始运动，,的外力为 。
例,质量为,m,的物体挂在弹簧系数为,k,的弹簧一端,(,如图,),若物体自静止平衡,求该物体,的运动规律,，作用在物体上,(,跳过,?),解,(1),对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,(2),令,记,有,当 具体给出时，即可以求的运动方程,并利用卷积定理有,(3),由,解,利用卷积定理有,当 具体给出时，即可以求的运动方程,(3),由,此时,可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，,振幅为,角频率为,称 为该系统的,自然频率,或,固有频率,设物体在,时受到冲击力,例如,A,为常数在数学软件,Matlab,的符号演算工具箱中，提供了专用函数,来进行,Laplace,变换与,Laplace,逆变换1),F,=,laplace,(,f,),对函数,f,(,t,),进行,Laplace,变换，,三、,利用,Matlab,实现,Laplace,变换,*,对并返回结果,F,(,s,),2),f,=,ilaplace,(,F,),对函数,F,(,s,),进行,Laplace,逆变换，,对并返回结果,f,(,t,),补,(,跳过,?),解,Matlab,程序,clear;,syms t;,f=t*exp(,-,3*t)*sin(2*t);,F=laplace(f),；,F=4/(s+3)2+4)2*(s+3),输出,求函数 的,Laplace,变换。
例,即,解,Matlab,程序,clear;,syms t;,f=sin(t)/t;,F=laplace(f),;,其中，,atan,为,反正切函数F=atan(1/s),输出,求函数 的,Laplace,变换例,即,解,Matlab,程序,clear;,syms s;,F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3);,f=ilaplace(F),;,其中，,exp,为,指数函数f=2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t),输出,求函数 的,Laplace,逆变换例,即,解,Matlab,程序,clear;,syms s;,F=exp(-s)/(s-1);,f=ilaplace(F),;,求函数 的,Laplace,逆变换例,f=Heaviside(t-1)*exp(t-1),输出,其中，,Heaviside,为,单位阶跃函数,即,休息一下,。